Задача
Докажите, что преобразование Pчисловой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде
P(x) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$,
где a,b,c,d — такие числа, чтоad-bc$\ne$0. (Такие
отображения называютдробно-линейными.)
Решение
Во-первых, покажем, что дробно-линейное преобразование
P(x) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$, ad - bc$\displaystyle \ne$0,
сохраняет двойное отношение. Действительно, пусть x1,x2,x3,x4 — произвольные числа и yi=P(xi). Тогда
yi - yj = $\displaystyle {\frac{ax_i+b}{cx_i+d}}$ - $\displaystyle {\frac{ax_j+b}{cx_j+d}}$ = $\displaystyle {\frac{(ad-bc)(x_i-x_j)}{(cx_i+d)(cx_j+d)}}$;
следовательно,(y1y2y3y4) = (x1x2x3x4).
В решении задачи 30.4фактически было доказано, что если
преобразование прямой сохраняет двойное отношение, то оно
однозначно задается образами произвольных трех различных точек.
Согласно задаче 30.2, б) проективные преобразования сохраняют
двойное отношение. Остается доказать, что для любых попарно
различных точек x1,x2,x3и попарно различных точек y1,y2,y3найдется дробно-линейное преобразование P, для
которогоP(xi) =yi. Для этого, в свою очередь, достаточно доказать,
что для любых трех различных точек найдется дробно-линейное
преобразование, переводящее их в три фиксированные точкиz1= 0,z2= 1,z3=$\infty$. Действительно, если P1и P2 —
дробно-линейные преобразования такие, чтоP1(xi) =ziи P2(yi) =zi, тоP2-1(P1(xi)) =yi. (Преобразование,
обратное дробно-линейному, является дробно-линейным, так
как еслиy= (ax+b)/(cx+d), тоx= (dy-b)/(-cy+a); то, что
композиция дробно-линейных преобразований дробно-линейна,
проверьте самостоятельно.)
Итак, нам надо доказать, что если x1,x2,x3 —
произвольные различные числа, то найдутся такие числа a,b,c,d, чтоad-bc$\ne$0 и| ax1 + b | = 0, | |
| ax2 + b | = cx2 + d, | |
| cx3 + d | = 0. |
Найдя из первого и третьего уравнений bи dи подставив во второе, получаем уравнение
a(x2 - x1) = c(x2 - x3),
из которого находим решениеa= (x2-x3),b=x1(x3-x2),c= (x2-x1),d=x3(x1-x2). При этомad-bc= (x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)$\ne$0.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет