Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 9 класса - сложность 4 с решениями

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

В окружность <i>S</i> вписан шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> лежат на одной прямой.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат на одной прямой. Докажите, что если (<i>ABCD</i>) = 1, то либо<i>A</i>=<i>B</i>, либо<i>C</i>=<i>D</i>.

Докажите, что преобразование <i>P</i>числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$, </div>где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — такие числа, что<i>ad</i>-<i>bc</i>$\ne$0. (Такие отображения называют<i>дробно-линейными</i>.)

Дано отображение прямой <i>a</i>на прямую <i>b</i>, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

Докажите, что проективное преобразование прямой однозначно определяется образами трех произвольных точек.

Докажите, что если(<i>ABCX</i>) = (<i>ABCY</i>), то<i>X</i>=<i>Y</i>(все точки попарно различны, кроме, быть может, точек <i>X</i>и <i>Y</i>, и лежат на одной прямой).

а) Даны прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>, проходящие через одну точку, и прямая <i>l</i>, через эту точку не проходящая. Пусть <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i> — точки пересечения прямой <i>l</i>с прямыми <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>соответственно. Докажите, что(<i>abcd</i>)= (<i>ABCD</i>). б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

Докажите, что существует проективное отображение, которое три данные точки одной прямой переводит в три данные точки другой прямой.

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции двух растяжений и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании <i>L</i>каждая точка некоторой прямой <i>l</i>переходит в себя, то все прямые вида<i>ML</i>(<i>M</i>), где в качестве <i>M</i>берутся произвольные точки, не лежащие на прямой <i>l</i>, параллельны друг другу.

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.

Даны четыре окружности <i>S</i>₁,<i>S</i>₂,<i>S</i>₃,<i>S</i>₄. Пусть <i>S</i>₁и <i>S</i>₂пересекаются в точках <i>A</i>₁и <i>A</i>₂,<i>S</i>₂и <i>S</i>₃ — в точках <i>B</i>₁и <i>B</i>₂,<i>S</i>₃и <i>S</i>₄ — в точках <i>C</i>₁и <i>C</i>₂,&...

Окружность<i>S</i>_Aпроходит через точки<i>A</i>и<i>C</i>; окружность<i>S</i>_Bпроходит через точки<i>B</i>и<i>C</i>; центры обеих окружностей лежат на прямой<i>AB</i>. Окружность<i>S</i>касается окружностей<i>S</i>_Aи<i>S</i>_B, а кроме того, она касается отрезка<i>AB</i>в точке<i>C</i>₁. Докажите, что<i>CC</i>₁ — биссектриса треугольника<i>ABC</i>.

Две окружности, пересекающиеся в точке <i>A</i>, касаются окружности (или прямой) <i>S</i>₁в точках <i>B</i>₁и <i>C</i>₁, а окружности (или прямой) <i>S</i>₂в точках <i>B</i>₂и <i>C</i>₂(причем касание в <i>B</i>₂и <i>C</i>₂такое же, как в <i>B</i>₁и <i>C</i>₁). Докажите, что окружности, описанные вокруг треугольников<i>AB</i>₁<i>C</i>₁и <i>AB</i><sub...

Через точки <i>A</i>и <i>B</i>проведены окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂, касающиеся окружности <i>S</i>, и окружность <i>S</i>₃, перпендикулярная <i>S</i>. Докажите, что <i>S</i>₃образует равные углы с окружностями <i>S</i>₁и <i>S</i>₂.

Никакие три из четырех точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>не лежат на одной прямой. Докажите, что угол между описанными окружностями треугольников<i>ABC</i>и <i>ABD</i>равен углу между описанными окружностями треугольников<i>ACD</i>и <i>BCD</i>.

В сегмент вписываются всевозможные пары пересекающихся окружностей, и для каждой пары через точки их пересечения проводится прямая. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку (см. задачу <a href="https://mirolimp.ru/tasks/156701">3.44</a>).

Найдите множество точек касания пар окружностей, касающихся сторон данного угла в данных точках <i>A</i>и <i>B</i>.

С помощью одного циркуля постройте окружность, в которую переходит данная прямая<i>AB</i>при инверсии относительно данной окружности с данным центром <i>O</i>.

Через данную точку проведите окружность, касающуюся двух данных окружностей (или окружности и прямой).

Докажите, что при инверсии сохраняется угол между окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).

Докажите, что если <i>n</i> точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее <i>n</i> различных.

Обязательно ли треугольник равнобедренный, если центр его вписанной окружности одинаково удален от середин двух сторон?