Задача
Докажите, что если n точек не лежат на одной прямой, то среди прямых, их соединяющих, не менее n различных.
Решение
Индукция по n. База. При n = 3 утверждение очевидно.
Шаг индукции. Если на каждой прямой, проходящей через две из n данных точек, лежит еще одна данная точка, то все данные точки лежат на одной прямой (см. задачу 58059). Поэтому существует прямая, на которой лежат ровно две данные точки A и B. Выбросим точку A. Возможны два случая.
1) Все оставшиеся точки лежат на одной прямой l. Тогда будет ровно n различных прямых: n – 1 прямая, проходящая через A, и прямая l.
2) Оставшиеся точки не лежат на одной прямой. Тогда среди прямых, их соединяющих, по предположению индукции есть не менее n – 1 различных, причём все они отличны от прямой AB. Вместе с прямой AB они составляют не менее n прямых.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь