Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 9 класса - сложность 1-4 с решениями

В сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём  ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>.  Докажите, что  ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.

Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?

Доказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть ^<i>a</i>/_<i>b</i> и ^<i>c</i>/_<i>d</i> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |<i>bc – ad</i>| = 1.

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i>₁, <i>x</i>₂, ..., <i>x_n</i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

В плоскости дан треугольник <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃ и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₃<i>A</i>₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂.  Через точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, <i>A</i>₃ проводятся прямые, образующие с &l...

На окружности даны точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.

На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?

На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.

В окружность <i>S</i> вписан шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> лежат на одной прямой.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>лежат на одной прямой. Докажите, что если (<i>ABCD</i>) = 1, то либо<i>A</i>=<i>B</i>, либо<i>C</i>=<i>D</i>.

Докажите, что преобразование <i>P</i>числовой прямой является проективным тогда и только тогда, когда оно представляется в виде<div align="CENTER"> <i>P</i>(<i>x</i>) = $\displaystyle {\frac{ax+b}{cx+d}}$, </div>где <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — такие числа, что<i>ad</i>-<i>bc</i>$\ne$0. (Такие отображения называют<i>дробно-линейными</i>.)

Дано отображение прямой <i>a</i>на прямую <i>b</i>, сохраняющее двойное отношение любой четверки точек. Докажите, что это отображение проективно.