Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 8-9 класса - сложность 2 с решениями

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём  ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>.  Докажите, что  ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

Квадрат разрезан на прямоугольники.

Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?

Доказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

На окружности даны точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида<div align="CENTER"> <i>Az</i>$\displaystyle \bar{z}$ + <i>cz</i> + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + <i>D</i> = 0, </div>где<i>A</i>и<i>D</i> — вещественные числа, а<i>c</i> — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество. б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Докажите, что прямая, проходящая через точки<i>a</i>₁и<i>a</i>₂, задаётся уравнением<div align="CENTER"> <i>z</i>($\displaystyle \bar{a}{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(<i>a</i>₁ - <i>a</i>₂) + (<i>a</i>₁$\displaystyle \bar{a}{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}{1}^{}$<i>a</i>₂) = 0. </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>— комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число${\frac{1}{2}}$(<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>-$\bar{a}$<i>bc</i>) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины<i>a</i>на сторону<i>bc</i>.

Пусть<i>a</i> — комплексное число, лежащее на единичной окружности<i>S</i>с центром в нуле,<i>t</i> — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее,<i>b</i> — отличная от<i>a</i>точка пересечения прямой<i>at</i>с окружностью<i>S</i>. Докажите, что$\bar{b}$= (1 -<i>ta</i>)(<i>t</i>-<i>a</i>).

Пусть<i>a</i>и<i>b</i> — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле,<i>u</i> — точка пересечения касательных к этой окружности в точках<i>a</i>и<i>b</i>. Докажите, что<i>u</i>= 2<i>ab</i>/(<i>a</i>+<i>b</i>).

Докажите, что треугольники<i>abc</i>и<i>a'b'c'</i>собственно подобны, тогда и только тогда, когда<div align="CENTER"> <i>a'</i>(<i>b</i> - <i>c</i>) + <i>b'</i>(<i>c</i> - <i>a</i>) + <i>c'</i>(<i>a</i> - <i>b</i>) = 0. </div>

Докажите, что если треугольники<i>abc</i>и<i>a'b'c'</i>на комплексной плоскости собственно подобны, то<div align="CENTER"> (<i>b</i> - <i>a</i>)/(<i>c</i> - <i>a</i>) = (<i>b'</i> - <i>a'</i>)/(<i>c'</i> - <i>a'</i>). </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — комплексные числа, причем углы<i>a</i>0<i>b</i>и<i>c</i>0<i>d</i>равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда$\Im$<i>abcd</i>= 0.

В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<i>AD</i>и <i>BC</i>через точку <i>B</i>проведена прямая, параллельная стороне<i>CD</i>и пересекающая диагональ<i>AC</i>в точке <i>P</i>, а через точку <i>C</i> — прямая, параллельная стороне<i>AB</i>и пересекающая диагональ<i>BD</i>в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая<i>PQ</i>параллельна основаниям трапеции.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Пусть <i>O</i> — точка пересечения его медиан, а <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i> — точки сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е.<i>AM</i>:<i>MB</i>=<i>BN</i>:<i>NC</i>=<i>CP</i>:<i>PA</i>=<i>p</i>:<i>q</i>). Докажите, что: а)<i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника<i>MNP</i>; б)<i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми<i>AN</i>,<i>BP</i>и <i>CM</i>.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>и <i>M</i>соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть <i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — прямые, проходящие через <i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>параллельно прямым<i>KL</i>,<i>KM</i>,<i>ML</i>соответственно. Докажите, что прямые <i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>проходят через одну точку.

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁ — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>при аффинном преобразовании. Докажите, что если$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$, то$\overrightarrow{A_1B_1}$=$\overrightarrow{C_1D_1}$.

Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.