Задача
а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида
Az$\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,
гдеAиD — вещественные числа, аc — комплексное число. Наоборот,
докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую,
либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и
прямые.
Решение
а) Окружности и прямые задаются уравнениями
A(x2 + y2) + Bx + Cy + D = 0.
с вещественными коэффициентамиA,B,C,D(приA= 0
такое уравнение задает прямую, а приA$\ne$0 — окружность,
точку или пустое множество). Наоборот, любое такое уравнение
задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое
множество. Ноz=x+iy, поэтомуx2+y2=z$\bar{z}$иBx+Cy=cz+$\bar{c}$$\bar{z}$, гдеc= (B-Ci)/2.
б) Образом числаzпри инверсии с центром в нуле и степенью 1 является числоw= 1/$\bar{z}$. Поделив уравнение из задачи а) наz$\bar{z}$, получим, что еслиw — образ точкиzпри этой инверсии, то
Dw$\displaystyle \bar{w}$ + cw + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{w}$ + A = 0,
т. е. числоwудовлетворяет уравнению того же вида.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет