Олимпиадные задачи из источника «Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина» для 10 класса - сложность 2 с решениями
Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
НазадДан тетраэдр <i>ABCD</i>. Точка <i>X</i> выбрана вне тетраэдра так, что отрезок <i>XD</i> пересекает грань <i>ABC</i> во внутренней точке. Обозначим через <i>A', B', C'</i> проекции точки <i>D</i> на плоскости <i>XBC, XCA, XAB</i> соответственно. Докажите, что <i>A'B' + B'C' + C'A' < DA + DB + DC</i>.
В окружность Ω вписан четырёхугольник <i>ABCD</i>, диагонали <i>AC</i> и <i>BD</i> которого перпендикулярны. На сторонах <i>AB</i> и <i>CD</i> во внешнюю сторону как на диаметрах построены дуги α и β. Рассмотрим две луночки, образованные окружностью Ω и дугами α и β (см. рис.). Докажите, что максимальные радиусы окружностей, вписанных в эти луночки, равны.<div align="center"><img src="/storage/problem-media/116915/problem_116915_img_2.gif"></div>
При каких <i>n</i> можно оклеить в один слой поверхность клетчатого куба <i>n</i>×<i>n</i>×<i>n</i> бумажными прямоугольниками 1×2 так, чтобы каждый прямоугольник граничил по отрезкам сторон ровно с пятью другими?
Дан равнобедренный треугольник <i>ABC</i>, в котором <i>BC = a</i>, <i>AB = AC = b</i>. На стороне <i>AC</i> во внешнюю сторону построен треугольник <i>ADC</i>, в котором
<i>AD = DC = a</i>. Пусть <i>CM</i> и <i>CN</i> – биссектрисы в треугольниках <i>ABC</i> и <i>ADC</i> соответственно. Найдите радиус описанной окружности треугольника <i>CMN</i>.
<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что <i>AM = NC</i>. На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что <i>CN = BK</i>. Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> провели высоты <i>AA</i><sub>1</sub> и <i>BB</i><sub>1</sub>, которые пересекаются в точке <i>O</i>. Затем провели высоту <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub> треугольника <i>OBA</i><sub>1</sub> и высоту <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub> треугольника <i>OAB</i><sub>1</sub>. Докажите, что отрезок <i>A</i><sub>2</sub><i>B</i><sub>2</sub> параллелен стороне <i>AB</i>.
Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.
Можно ли расположить на плоскости четыре равных многоугольника так, чтобы каждые два из них не имели общих внутренних точек, но имели общий отрезок границы?
Из вершины <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> опущен перпендикуляр <i>BM</i> на биссектрису угла <i>C</i>. Пусть <i>K</i> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>.
Найдите угол <i>MKB</i>, если известно, что ∠<i>BAC</i> = α.
Пусть <i>AH<sub>a</sub></i> и <i>BH<sub>b</sub></i> – высоты треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – проекции точки <i>H<sub>a</sub></i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>H<sub>a</sub>H<sub>b</sub></i> пополам.
Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.
В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>AB</i> равна меньшему основанию <i>BC</i>, а диагональ <i>AC</i> равна основанию <i>AD</i>. Прямая, проходящая через вершину <i>B</i> параллельно <i>AC</i>, пересекает прямую <i>DC</i> в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>AM</i> – биссектриса угла <i>BAC</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Из вершин <i>B</i> и <i>C</i> опущены перпендикуляры <i>BM</i> и <i>CN</i> на биссектрисы углов <i>C</i> и <i>B</i> соответственно.
Докажите, что прямая <i>MN</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках их касания с вписанной окружностью.
Найдите геометрическое место центров всех вневписанных окружностей прямоугольных треугольников, имеющих данную гипотенузу.
Дан треугольник <i>ABC</i> и построена вневписанная окружность с центром <i>O</i>, касающаяся стороны <i>BC</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i>. Точка <i>O</i><sub>1</sub> симметрична точке <i>O</i> относительно прямой <i>BC</i>. Найдите величину угла <i>A</i>, если известно, что точка <i>O</i><sub>1</sub> лежит на описанной около треугольника <i>ABC</i> окружности.
Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями.
Докажите, что трапеция равнобокая.
Через каждую вершину неравнобедренного треугольника <i>ABC</i> проведён отрезок, разбивающий его на два треугольника с равными периметрами.
Верно ли, что все эти отрезки имеют разные длины?
Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.
Дан треугольник <i>ABC</i> площади 1. Из вершины <i>B</i> опущен перпендикуляр <i>BM</i> на биссектрису угла <i>C</i>. Найдите площадь треугольника <i>AMC</i>.
Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, <i>CC</i><sub>1</sub> – его биссектриса, <i>O</i> – центр описанной окружности. Точка пересечения прямой <i>OC</i><sub>1</sub> с перпендикуляром, опущенным из вершины <i>C</i> на сторону <i>AB</i>, лежит на описанной окружности Ω треугольника <i>AOB</i>. Найдите угол <i>C</i>.
Точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>B</i><sub>2</sub> лежат на луче <i>AM</i>, а точки <i>C</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>2</sub> на луче <i>AK</i>. Окружность с центром <i>O</i> вписана в треугольники <i>AB</i><sub>1</sub><i>C</i><sub>1</sub> и <i>AB</i><sub>2</sub><i>C</i><sub>2</sub>.
Докажите, что углы <i>B</i><sub>1</sub><i>OB</i><sub>2</sub> и <i>C</i><sub>1</sub><i>OC</i><sub>2</sub> равны.
В треугольник <i>ABC</i> вписан ромб <i>CKLN</i> так, что точка <i>L</i> лежит на стороне <i>AB</i>, точка <i>N</i> – на стороне <i>AC</i>, точка <i>K</i> – на стороне <i>BC</i>. Пусть <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub> и <i>O</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ACL, BCL</i> и <i>ABC</i> соответственно. Пусть <i>P</i> – точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>ANL</i> и <i>BKL</i>, отличная от <i>L</i>. Докажите, что точки <i>O</i><sub>1</sub>, <i>O</i><sub>2</sub>, <i>O<...
Пусть <i>a, b, c</i> – длины сторон произвольного треугольника; <i>p</i> – полупериметр; <i>r</i> – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство <div align="center"><img src="/storage/problem-media/115857/problem_115857_img_2.gif"></div>
Мальчик с папой стоят на берегу моря. Если мальчик встанет на цыпочки, его глаза будут на высоте 1 м от поверхности моря, а если сядет папе на плечи, то на высоте 2 м. Во сколько раз дальше он будет видеть во втором случае. (Найдите ответ с точностью до 0,1, радиус Земли считайте равным 6000 км.)
Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?