Олимпиадные задачи из «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)»

Задача 166251 • Сложность: 4 • 10-11 класс

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A1, B1, C1 и D1 соответственно.

а) Пусть Pa – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки Pb, Pc и Pd определяются аналогично. Докажите, что прямые A1&...

Задача 166250 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Дан тетраэдр ABCD. В грани ABC и ABD вписаны окружности с центрами O1, O2, касающиеся ребра AB в точках T1, T2. Плоскость πAB проходит через середину отрезка T1T2 и перпендикулярна O1O2. Аналогично определяются плоскости πAC, πBC, πAD</i&g...

Ягудин М. Стереометрия

Задача 166249 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Грани икосаэдра окрасили в пять цветов (среди которых есть красный и синий) так, что две грани, окрашенные в один цвет, не имеют общих точек, даже вершин. Докажите, что для любой точки внутри икосаэдра сумма расстояний от нее до красных граней равна сумме расстояний до синих граней.

Канель-Белов А. Я. Стереометрия Комбинаторная геометрия Принцип Дирихле

Задача 166248 • Сложность: 3 • 8-10 класс

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность ω с центром O, M1 и M2 – середины сторон AB и CD соответственно; Ω – описанная окружность треугольника OM1M2, X1 и X2 – точки пересечения ω с Ω, а Y1 и Y2 – вторые точки пересечения описанных окружностей ω1 и ω2 треугольников CDM1 и ABM2</sub&g...

Якубов А. Планиметрия

Задача 166247 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Даны окружность и лежащий внутри неё эллипс с фокусом C.

Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников ABC, где AB – хорда окружности, касающаяся эллипса.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 166246 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Пусть AL и AK – внутренняя и внешняя биссектрисы треугольника ABC, P – точка пересечения касательных к описанной окружности в точках B и C. Перпендикуляр, восставленный из точки L к BC, пересекает прямую AP в точке Q. Докажите, что Q лежит на средней линии треугольника LKP.

Ивлев Ф. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166245 • Сложность: 3 • 9-11 класс

В окружность вписан шестиугольник ABCDEF. K, L, M, N – точки пересечения пар прямых AB и CD, AC и BD, AF и DE, AE и DF.

Докажите, что если три из этих точек лежат на одной прямой, то и четвёртая точка лежит на этой прямой.

Ясинский В. Планиметрия Проективная геометрия

Задача 166244 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан треугольник ABC, O – центр его описанной окружности. Проекции точек D и X на стороны треугольника лежат на прямых l и L, причём l || XO. Докажите, что прямая L образует равные углы с прямыми AB и CD.

Нилов Ф. Планиметрия

Задача 166243 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Выпуклый четырёхугольник разрезан диагоналями на четыре треугольника. Восстановите четырёхугольник по центрам описанных окружностей двух соседних треугольников и центрам вписанных окружностей двух противоположных друг другу треугольников.

Френкин Б. Р. Планиметрия

Задача 166242 • Сложность: 2 • 8-9 класс

Длины сторон треугольника ABC не превышают 1.

Докажите, что p(1 – 2Rr) ≥ 1, где p – полупериметр, R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей треугольника ABC.

Планиметрия

Задача 166241 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Дан неравнобедренный остроугольный треугольник ABC. Точки A1, A2 симметричны основаниям внутренней и внешней биссектрис угла A относительно середины стороны BC. На отрезке A1A2 как на диаметре построена окружность α. Аналогично определяются окружности β и γ. Докажите, что эти три окружности пересекаются в двух точках.

Мякишев А. Г. Планиметрия

Задача 166240 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В треугольнике ABC проведены высоты AH1, BH2 и CH3. Точка M – середина отрезка H2H3. Прямая AM пересекает отрезок H2H1 в точке K.

Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.

Хилько Д. Руденко А. Планиметрия

Задача 166239 • Сложность: 3 • 9-11 класс

Сколько (максимум) кругов можно расположить на плоскости так, чтобы каждые два из них пересекались, а никакие три – нет?

Заславский А. А. Планиметрия Комбинаторная геометрия Топология

Задача 166238 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Пусть H – ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Серединный перпендикуляр к отрезку BH пересекает стороны BA, BC в точках A0, C0 соответственно. Докажите, что периметр треугольника A0OC0 (O – центр описанной окружности треугольника ABC) равен AC.

Соколов А. Планиметрия

Задача 166237 • Сложность: 2 • 8-10 класс

Диагонали выпуклого четырехугольника делят его на четыре подобных треугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность.

Френкин Б. Р. Планиметрия

Задача 166236 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте на сторонах BC, CA, AB точки A', B', C' так, чтобы выполнялись следующие условия:

- A'B' || AB;

- C'C – биссектриса угла A'C'B';

- A'C' + B'C' = AB.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 166235 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD перпендикулярны. Из точки D опущен перпендикуляр DE на сторону AB, а из точки C – перпендикуляр CF на прямую DE. Докажите, что ∠DBF = ½ ∠FCD.

Москвитин Н. А. Планиметрия

Задача 166234 • Сложность: 3 • 9-10 класс

Высоты AA1, CC1 треугольника ABC пересекаются в точке H. HA – точка симметричная H относительно A. HAC1 пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что A'C' || AC.

Швецов Д. В. Планиметрия

Задача 166233 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В остроугольном треугольнике ABC AA', BB' и CC' – высоты. Точки Ca, Cb симметричны C' относительно AA' и BB'. Аналогично определены точки Ab, Ac, Bc, Ba. Докажите, что прямые AbBa, BcCb и CaAc параллельны.

Заславский А. А. Планиметрия

Задача 166232 • Сложность: 2 • 8-9 класс

Дан треугольник ABC. Две окружности, проходящие через вершину A, касаются стороны BC в точках B и C соответственно. Пусть D – вторая точка пересечения этих окружностей (A лежит ближе к BC, чем D). Известно, что BC = 2BD. Докажите, что ∠DAB = 2∠ADB.

Ясинский В. Планиметрия

Задача 166231 • Сложность: 2 • 8-9 класс

В параллелограмме ABCD провели трисектрисы углов A и B. Трисектрисы, ближние к стороне AB, пересекаются в точке O. Обозначим пересечение трисектрисы AO со второй трисектрисой угла B через A1, а пересечение трисектрисы BO со второй трисектрисой угла A через B1. Пусть M – середина отрезка A1B1, а прямая MO пересекает сторону AB в точке N. Докажите, что треугольник A...

Штейнгарц Л. Планиметрия

Задача 166230 • Сложность: 3 • 8-10 класс

На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что CG = DF. Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.

Москвитин Н. А. Планиметрия

Задача 166229 • Сложность: 3 • 9-10 класс

В треугольнике ABC O – центр описанной окружности, H – ортоцентр. Через середину OH параллельно BC проведена прямая, пересекающая стороны AB и AC в точках D и E. Оказалось, что O – центр вписанной окружности треугольника ADE. Найдите углы треугольника ABC.

Рожкова М. Планиметрия

Задача 166228 • Сложность: 2 • 8-9 класс

Таня вырезала из бумаги выпуклый многоугольник и несколько раз его согнула так, что получился двухслойный четырёхугольник.

Мог ли вырезанный многоугольник быть семиугольником?

Казицына Т. В. Планиметрия Примеры и контрпримеры. Конструкции

Задача 165383 • Сложность: 3 • 10-11 класс

Можно ли разрезать какой-нибудь прямоугольник на правильный шестиугольник со стороной 1 и несколько равных прямоугольных треугольников с катетами 1 и <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/65383/problem_65383_img_2.png">?

Артемьев М. Теория чисел. Делимость Планиметрия Комбинаторная геометрия Доказательство от противного Действительные числа

Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)»

Категории

XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)

Фильтры

Фильтры

Олимпиадные задачи из источника «XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)»

Категории

XI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2015 г.)

Фильтры

Фильтры

Подтверждение удаления