Олимпиадная задача по планиметрии: вписанные четырёхугольники и радиусы
Задача
Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.
Решение
Пусть части, прилегающие к вершинам A, B, C вписанного четырёхугольника ABCD, – вписанные четырёхугольники. Так как углы A и C четырёхугольника противолежат равным углам в точке разреза L, то они равны, а значит, прямые. Поэтому прямые, разрезающие четырёхугольник, перпендикулярны. Но тогда угол B тоже прямой, то есть ABCD – прямоугольник, а четвёртая часть тоже является вписанным четырёхугольником. Кроме того, углы, опирающиеся на хорды AL, BL, CL, равны, а так как радиусы этих окружностей тоже равны, то равны и сами хорды. Следовательно, L – центр прямоугольника, и четвёртая окружность имеет тот же радиус.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь