Олимпиадные задачи из источника «XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)»
XIII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2017 г.)
НазадОстроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.
Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.
На плоскости дано множество <i>S</i>, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что <i>S</i> можно разбить на два множества <i>X</i> и <i>Y</i> так, что выпуклые оболочки conv <i>X</i> и conv <i>Y</i> имеют поровну вершин.
Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i> и вписан в окружность Ω. Прямые <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>Q</i>. Докажите, что описанная окружность ω треугольника <i>PIQ</i> перпендикулярна Ω.
Сфера, вписанная в пирамиду <i>SABC</i>, касается граней <i>SAB, SBC, SCA</i> в точках <i>D, E, F</i> соответственно.
Найдите все возможные значения суммы углов <i>SDA, SEB</i> и <i>SFC</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены высоты <i>BB', CC'</i>. Через <i>A</i> и <i>C'</i> проведены две окружности, касающиеся <i>BC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>.
Докажите, что точки <i>A, B', P, Q</i> лежат на одной окружности.
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки <i>A′, B′, C′</i>, что лучи <i>B′C′, C′A′, A′B′</i> проходят через <i>A, B, C</i> соответственно.
Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Пусть ω<sub><i>A</i></sub>, ω<sub><i>B</i></sub>, ω<sub><i>C</i></sub>, ω<sub><i>D</i></sub> – описанные окружности треугольников <i>BCD, ACD, ABD, ABC</i> соответственно. Обозначим через <i>X<sub>A</sub></i> произведение степени точки <i>A</i> относительно ω<i>A</i> на площадь треугольника <i>BCD</i>. Аналогично определим <i>X<sub>B</sub>, X<sub>C</sub>, X<sub>D</sub></i>. Докажите, что <i>X<sub>A</sub> + X<sub>B</sub> + X<sub>C</sub> + X<sub>D</sub></i> = 0.
Докажите, что в остроугольном треугольнике расстояние от любой вершины до соответствующего центра вневписанной окружности меньше чем сумма двух наибольших сторон треугольника.
Две окружности пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Пусть <i>CD</i> – их общая касательная (<i>C</i> и <i>D</i> – точки касания), а <i>O<sub>a</sub>, O<sub>b</sub></i> – центры описанных окружностей треугольников <i>CAD, CBD</i> соответственно. Докажите, что середина отрезка <i>O<sub>a</sub>O<sub>b</sub></i> лежит на прямой <i>AB</i>.
Пусть <i>AK</i> и <i>BL</i> – высоты остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а Ω – вневписанная окружность <i>ABC</i>, касающаяся стороны <i>AB</i>. Общие внутренние касательные к описанной окружности ω треугольника <i>CKL</i> и окружности Ω пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Докажите, что <i>AP = BQ</i>.
На каждой из двух параллельных прямых <i>a</i> и <i>b</i> отметили по 50 точек. Каково наибольшее возможное количество остроугольных треугольников с вершинами в этих точках?
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i> точка <i>D</i> – середина высоты, опущенной на гипотенузу <i>AB</i>. Прямые, симметричные <i>AB</i> относительно <i>AD</i> и <i>BD</i>, пересекаются в точке <i>F</i>. Найдите отношение площадей треугольников <i>ABF</i> и <i>ABC</i>.
Пусть <i>BH<sub>b</sub>, CH<sub>c</sub></i> – высоты треугольника <i>ABC</i>. Прямая <i>H<sub>b</sub>H<sub>c</sub></i> пересекает описанную окружность Ω треугольника <i>ABC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Точки <i>P</i> и <i>Q</i> симметричны <i>X</i> и <i>Y</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно. Докажите, что <i>PQ || BC</i>.
Точка <i>D</i> лежит на основании <i>BC</i> равнобедренного треугольника <i>ABC</i>, а точки <i>M</i> и <i>K</i> – на его боковых сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно, причём <i>AMDK</i> – параллелограмм. Прямые <i>MK</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>L</i>. Перпендикуляр к <i>BC</i>, восставленный из точки <i>D</i>, пересекает прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i> соответственно. Докажите, что окружность с центром <i>L</i>, проходящая через <i>D</i>, касается описанной окружности треугольника <i>AXY</i>.
В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> углы <i>B</i> и <i>C</i> больше 60°. Точки <i>P, Q</i> на сторонах <i>AB, AC</i> таковы, что <i>A, P, Q</i> и ортоцентр треугольника <i>H</i> лежат на одной окружности; <i>K</i> – середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что ∠<i>BKC</i> > 90°.
Точка <i>I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>ABC, M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>W</i> – середина дуги <i>AB</i> описанной окружности, не содержащей <i>C</i>. Оказалось, что ∠<i>AIM</i> = 90°. В каком отношении точка <i>I</i> делит отрезок <i>CW</i>?
Правильный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность. Прямая <i>l</i>, проходящая через середину стороны <i>AB</i> и параллельная <i>AC</i>, пересекает дугу <i>AB</i>, не содержащую <i>C</i>, в точке <i>K</i>. Докажите, что отношение <i>AK</i> : <i>BK</i> равно отношению стороны правильного пятиугольника к его диагонали.
Вокруг квадрата <i>ABCD</i> описана окружность. Точка <i>P</i> лежит на дуге <i>CD</i> этой окружности, не содержащей других вершин квадрата. Прямые <i>PA, PB</i> пересекают диагонали <i>BD, AC</i> соответственно в точках <i>K, L</i>. Точки <i>M, N</i> – проекции <i>K, L</i> соответственно на <i>CD</i>, а <i>Q</i> – точка пересечения прямых <i>KN</i> и <i>ML</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>AB</i> пополам.
На плоскости даны два правильных тринадцатиугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>13</sub> и <i>B</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub>...<i>B</i><sub>13</sub>, причём точки <i>B</i><sub>1</sub> и <i>A</i><sub>13</sub> совпадают и лежат на отрезке <i>A</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>13</sub>, а многоугольники лежат по одну сторону от этого отрезка. Докажите, что прямые <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>9</sub>, <i>B</i><sub>13</sub><i>B</i><sub>...
Дан квадрат <i>ABCD</i>. Первая окружность касается сторон угла <i>A</i>, вторая – сторон угла <i>B</i>, причём сумма диаметров окружностей равна стороне квадрата. Докажите, что одна из общих касательных этих окружностей пересекает сторону <i>AB</i> в её середине.
Саша разрезал бумажный треугольник на два треугольника. Затем он каждую минуту резал на два треугольника один из полученных ранее треугольников. Через некоторое время, не меньшее часа, все полученные Сашей треугольники оказались равными. Укажите все исходные треугольники, для которых возможна такая ситуация.
В треугольнике <i>ABC</i> проведена медиана <i>CF</i>. Точки <i>X</i> и <i>Y</i> симметричны <i>F</i> относительно медиан <i>AD</i> и <i>BE</i> соответственно.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников <i>BEX</i> и <i>ADY</i> совпадают.
Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>. Точки <i>H</i> и <i>O</i> – его ортоцентр и центр описанной окружности соответственно. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>BH</i> пересекает стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> в точках <i>A</i><sub>1</sub> и <i>C</i><sub>1</sub>. Докажите, что <i>OB</i> – биссектриса угла <i>A</i><sub>1</sub><i>OC</i><sub>1</sub>.
Четырёхугольник <i>ABCD</i>, в котором <i>AB = BC</i> и <i>AD = CD</i>, вписан в окружность. Точка <i>M</i> лежит на меньшей дуге <i>CD</i> этой окружности. Прямые <i>BM</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а прямые <i>AM</i> и <i>BD</i> – в точке <i>Q</i>. Докажите, что <i>PQ || AC</i>.
Даны два тетраэдра. Ни у одного из них нет двух подобных граней, но каждая грань первого тетраэдра подобна какой-то грани второго.
Обязательно ли эти тетраэдры подобны?