Олимпиадные задачи из источника «I Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2005 г.)»

Две окружности с радиусами 1 и 2 имеют общий центр в точке <i>O</i>. Вершина <i>A</i> правильного треугольника <i>ABC</i> лежит на большей окружности, а середина стороны <i>BC</i> – на меньшей. Чему может быть равен угол <i>BOC</i>?

Пусть <i>O</i> – центр правильного треугольника <i>ABC</i>. Из произвольной точки <i>P</i> плоскости опустили перпендикуляры на стороны треугольника или их продолжения. Обозначим через <i>M</i> точку пересечения медиан треугольника с вершинами в основаниях этих перпендикуляров. Докажите, что <i>M</i> – середина отрезка <i>PO</i>.

Вокруг выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> описаны три прямоугольника. Известно, что два из этих прямоугольников являются квадратами. Верно ли, что и третий обязательно является квадратом? (Прямоугольник описан около четырёхугольника <i>ABCD</i>, если на каждой стороне прямоугольника лежит по одной вершине четырёхугольника.)

Сторону <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> разделили на <i>n</i> равных частей (точки деления  <i>B</i>₀ = <i>A,  B</i>₁, <i>B</i>₂,  <i>B_n = B</i>),  а сторону <i>AC</i> этого треугольника разделили на

<i>n</i> + 1  равных частей (точки деления  <i>C</i>₀ = <i>A,  C</i>₁, <i>C</i>₂, ..., <i>C</i>_<i>n</i>+1 = <i>C</i>).  Закрасили треугольники <i>C_iB_iC</i><sub><i&gt...

Имеются две параллельные прямые <i>p</i>₁ и <i>p</i>₂. Точки <i>A</i> и <i>B</i> лежат на <i>p</i>₁, а <i>C</i> – на <i>p</i>₂. Будем перемещать отрезок <i>BC</i> параллельно самому себе и рассмотрим все треугольники <i>ABC</i>, полученные таким образом. Найдите геометрическое место точек, являющихся в этих треугольниках:

  а) точками пересечения высот;

  б) точками пересечения медиан;

  в) центрами описанных окружностей.

При каком наименьшем n существует выпуклый <i>n</i>-угольник, у которого синусы всех углов равны, а длины всех сторон различны?

Дана окружность и точка <i>К</i> внутри неё. Произвольная окружность, равная данной и проходящая через точку <i>К</i>, имеет с данной окружностью общую хорду. Найдите геометрическое место середин этих хорд.

Разрежьте крест, составленный из пяти одинаковых квадратов, на три многоугольника, равных по площади и периметру.

Хорды <i>AC</i> и <i>BD</i> окружности пересекаются в точке <i>P</i>. Перпендикуляры к <i>AC</i> и <i>BD</i> в точках <i>C</i> и <i>D</i>, соответственно пересекаются в точке <i> Q </i>.

Докажите, что прямые <i>AB</i> и <i>PQ</i> перпендикулярны.

Точки<i>A</i>и<i>B</i>, лежащие на окружности разбивают её на две дуги. Найдите геометрическое место середин всевозможных хорд, концы которых лежат на разных дугах<i>AB</i>.

Сфера, вписанная в тетраэдр <i>ABCD</i>, касается его граней в точках <i>A', B', C', D'</i>. Отрезки <i>AA'</i> и <i>BB'</i> пересекаются, и точка их пересечения лежит на вписанной сфере. Доказать, что отрезки <i>CC'</i> и <i>DD'</i> тоже пересекаются на вписанной сфере.

На плоскости дан угол и точка <i>К</i> внутри него. Доказать, что найдётся точка <i>М</i>, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через <i>К</i>, пересекает стороны угла в точках <i>А</i> и <i>В</i>, то <i>МК</i> является биссектрисой угла <i>АМВ</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> угол <i>A</i> равен α,  <i>BC = a</i>.  Вписанная окружность касается прямых <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>M</i> и <i>P</i>.

Найти длину хорды, высекаемой на прямой <i>MP</i> окружностью с диаметром <i>BC</i>.

Внутри вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> существует точка <i>K</i>, расстояния от которой до сторон <i>ABCD</i> пропорциональны этим сторонам.

Доказать, что <i>K</i> – точка пересечения диагоналей <i>ABCD</i>.

Дан выпуклый четырехугольник <i>ABCD</i>. Прямые <i>BC</i> и <i>AD</i> пересекаются в точке <i>O</i>, причём <i>B</i> лежит на отрезке <i>O</i> и <i>A</i> на отрезке <i>OD. I</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>OAB, J</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>OCD</i>, касающейся стороны <i>CD</i> и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка <i>IJ</i> на прямые <i>BC</i> и <i>AD</i>, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках <i>X</i> и <i>Y</i>. Доказать, что отрезок <i>XY</i> делит периметр четыр...

Точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ – середины сторон правильного треугольника <i>ABC</i>. Три параллельные прямые, проходящие через <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, пересекают, соответственно, прямые <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>C</i>₁<i>A</i>₁, <i>A</i>₁<i>B</i>₁ в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i...

Пусть <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC, X</i> – произвольная точка. Окружность с диаметром <i>XH</i> вторично пересекает прямые <i>AH, BH, CH</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, а прямые <i>AX, BX, CX</i> в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂. Доказать, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂, <i> C</i>₁<i>C</i&...

Две окружности радиуса 1 пересекаются в точках <i>X, Y</i>, расстояние между которыми также равно 1. Из точки <i>C</i> одной окружности проведены касательные <i>CA, CB</i> к другой. Прямая <i>CB</i> вторично пересекает первую окружность в точке <i>A'</i>. Найти расстояние <i>AA'</i>.

На плоскости даны два отрезка <i>A</i>₁<i>B</i>₁ и <i>A</i>₂<i>B</i>₂, причём  ^{<i>A</i>₂<i>B</i>₂}/_{<i>A</i>₁<i>B</i>₁} = <i>k</i> < 1.  На отрезке <i>A</i>₁<i>A</i>₂ взята точка <i>A</i>₃, а на продолжении этого отрезка за точку <i>А</i>₂ – точка <i>А</i>₄ так, что  <sup><i&gt...

В окружности с центром <i>O</i> проведены две параллельные хорды <i>AB</i> и <i>CD</i>. Окружности с диаметрами <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>.

Доказать, что середина отрезка <i>OP</i> равноудалена от прямых <i>AB</i> и <i>CD</i>.

Треугольник можно разрезать на три подобных друг другу треугольника.

Доказать, что его можно разрезать на любое число подобных друг другу треугольников.

Дан выпуклый четырёхугольник без параллельных сторон. Для каждой тройки его вершин строится точка, дополняющая эту тройку до параллелограмма, одна из диагоналей которого совпадает с диагональю четырёхугольника. Доказать, что из четырёх построенных точек ровно одна лежит внутри исходного четырёхугольника.

Дано, что ни для какой стороны треугольника из проведённых к ней высоты, биссектрисы и медианы нельзя составить треугольник.

Доказать, что один из углов треугольника больше чем 135°.

Пусть <i>P</i> – точка пересечения диагоналей четырёхугольника <i>ABCD, M</i> – точка пересечения прямых, соединяющих середины его противоположных сторон, <i>O</i> – точка пересечения серединных перпендикуляров к диагоналям, <i>H</i> – точка пересечения прямых, соединяющих ортоцентры треугольников <i>APD</i> и <i>BPC, APB</i> и <i>CPD</i>. Доказать, что <i>M</i> – середина <i>OH</i>.

Найти все равнобедренные треугольники, которые нельзя разрезать на три равнобедренных треугольника с одинаковыми боковыми сторонами.