Олимпиадная задача по планиметрии: пересечение MN и точки касания вписанной окружности
Задача
Дан треугольник ABC. Из вершин B и C опущены перпендикуляры BM и CN на биссектрисы углов C и B соответственно.
Докажите, что прямая MN пересекает стороны AC и AB в точках их касания с вписанной окружностью.
Решение
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, P – точка пересечения MN и AC (см. рис.). Так как точки M и N лежат на окружности с диаметром BC, то ∠MNB = ∠MCB = ∠ACI. Следовательно, точки C, I, P, N лежат на одной окружности и ∠CPI = ∠CNI = 90°. Значит, P – точка касания AC с вписанной окружностью. Для стороны AB доказательство аналогично.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет