Олимпиадные задачи по математике

<i>ABC</i> – равнобедренный прямоугольный треугольник. На продолжении гипотенузы <i>AB</i> за точку <i>A</i> взята точка <i>D</i> так, что  <i>AB</i> = 2<i>AD</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> на стороне <i>AC</i> таковы, что  <i>AM = NC</i>.  На продолжении стороны <i>CB</i> за точку <i>B</i> взята такая точка <i>K</i>, что  <i>CN = BK</i>.  Найдите угол между прямыми <i>NK</i> и <i>DM</i>.

Дан неравнобедренный треугольник <i>ABC</i>. Пусть <i>N</i> – середина дуги <i>BAC</i> его описанной окружности, а <i>M</i> – середина стороны <i>BC</i>. Обозначим через <i>I</i>₁ и <i>I</i>₂ центры вписанных окружностей треугольников <i>ABM</i> и <i>ACM</i> соответственно. Докажите, что точки <i>I</i>₁, <i>I</i>₂, <i>A</i>, <i>N</i> лежат на одной окружности.

В окружности $\omega$, описанной около треугольника $ABC$, хорда $KL$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ей. Некоторая окружность проходит через точки $L$ и $M$ и пересекает отрезок $CK$ в точках $P$ и $Q$ ($Q$ лежит на отрезке $KP$). Пусть $LQ$ пересекает описанную окружность треугольника $KMQ$ в точке $R$. Докажите, что четырехугольник $APBR$ вписанный.

Дан треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Точки $K$, $L$, $M$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CA$ соответственно, $N$ – точка на стороне $AB$. Прямая $CN$ пересекает $KM$ и $KL$ в точках $P$ и $Q$. Точки $S$, $T$ на сторонах $AC$, $BC$ таковы, что четырехугольники $APQS$, $BPQT$ – вписанные. Докажите, что а) если $CN$ – биссектриса, то прямые $CN$, $ML$, $ST$ пересекаются в одной точке;

б) если $CN$ – высота, то $ST$ проходит через середину $ML$.

На стороне <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> выбрана точка <i>M</i>. В треугольнике <i>ACM</i> точка <i>I</i>₁ – центр вписанной, <i>J</i>₁ – центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. В треугольнике <i>BCM</i> точка <i>I</i>₂ – центр вписанной, <i>J</i>₂ центр вневписанной окружности, касающейся стороны <i>CM</i>. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков <i>I</i>₁<i>I</i>₂ и <i>J</i>₁<i>J</i>₂ перп...

Пусть <i>ABC</i> – остроугольный треугольник, в котором  <i>AC < BC; M</i> – середина стороны <i>AB</i>. В описанной окружности Ω треугольника <i>ABC</i>, проведён диаметр <i>CC'</i>. Прямая <i>CM</i> пересекает прямые <i>AC'</i> и <i>BC'</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i> соответственно. Перпендикуляр к прямой <i>AC'</i>, проведённый через точку <i>K</i>, перпендикуляр к прямой <i>BC'</i>, проведённый через точку <i>L</i>, и прямая <i>AB</i> образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

На стороне <i>AB</i> четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что четырёхугольники <i>AMCD</i> и <i>BMDC</i> описаны около окружностей с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ соответственно. Прямая <i>O</i>₁<i>O</i>₂ отсекает от угла <i>CMD</i> равнобедренный треугольник с вершиной <i>M</i>. Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> вписанный.

Неравнобедренный треугольник <i>ABC</i> вписан в окружность ω. Касательная к этой окружности в точке <i>C</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>D</i>. Пусть <i>I</i> – центр вписанной окружности, треугольника <i>ABC</i>. Прямые <i>AI</i> и <i>BI</i> пересекают биссектрису угла <i>CDB</i> в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Пусть <i>M</i> – середина отрезка <i>PQ</i>. Докажите, что прямая <i>MI</i> проходит через середину дуги <i>ACB</i> окружности ω.

Высоты <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ треугольника <i>ABC</i> пересекаются в точке <i>H</i>. Прямая <i>CH</i> пересекает полуокружность с диаметром <i>AB</i>, проходящую через точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁, в точке <i>D</i>. Отрезки <i>AD</i> и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>M, BD</i> и <i>AA</i>₁ – в точке <i>N</i>. Докажите, что описанные окружности треугольников <i>B</i>₁<i>DM</i> и <i>A</i>₁<i>DN</i&g...

В угол вписаны непересекающиеся окружности ω₁ и ω₂. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂, что <i>l</i>₁ касается ω₁, <i>l</i>₂ касается ω₂ (ω₁, ω₂ находятся между <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми <i>l</i>₁, <i>l</i>₂ и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.

Треугольник <i>ABC</i>  (<i>AB > BC</i>)  вписан в окружность Ω. На сторонах <i>AB</i> и <i>BC</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>N</i> соответственно так, что  <i>AM = CN</i>.  Прямые <i>MN</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Пусть <i>P</i> – центр вписанной окружности треугольника <i>AMK</i>, а <i>Q</i> – центр вневписанной окружности треугольника <i>CNK</i>, касающейся стороны <i>CN</i>. Докажите, что середина дуги <i>ABC</i> окружности Ω равноудалена от точек <i>P</i> и <i>Q</i>.