Олимпиадные задачи из источника «V Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2009 г.)»

Дан вписанный четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что четыре окружности, каждая из которых касается его диагоналей и описанной окружности изнутри, равны. Верно ли, что <i>ABCD</i> – квадрат?

Даны две пересекающиеся окружности с центрами <i>O</i>₁, <i>O</i>₂. Постройте окружность, касающуюся одной из них внешним, а другой внутренним образом, центр которой удален от прямой <i>O</i>₁<i>O</i>₂ на наибольшее расстояние.

В треугольнике <i>ABC</i>  <i>AB – BC</i> = <img align="absmiddle" src="/storage/problem-media/115902/problem_115902_img_2.gif">.  Пусть <i>M</i> – середина стороны <i>AC</i>, а <i>BN</i> – биссектриса.  Докажите, что  ∠<i>BMC</i> + ∠<i>BNC</i> = 90°.

На окружности отметили <i>n</i> точек. Оказалось, что среди треугольников с вершинами в этих точках ровно половина остроугольных.

Найдите все значения <i>n</i>, при которых это возможно.

Дан правильный 17-угольник <i>A</i>₁... <i>A</i>₁₇. Докажите, что треугольники, образованные прямыми <i>A</i>₁<i>A</i>₄, <i>A</i>₂<i>A</i>₁₀, <i>A</i>₁₃<i>A</i>₁₄ и <i>A</i>₂<i>A</i>₃, <i>A</i>₄<i>A</i>₆, <i>A</i>₁₄<i>A</i>₁₅, равны.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности, лучи <i>BA</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>E</i>, лучи <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>F</i>. Вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AB, CD</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>AB</i> в точке <i>K</i>, а вписанная окружность треугольника, образованного прямыми <i>AD, BC</i> и биссектрисой угла <i>B</i>, касается прямой <i>BC</i> в точке <i>L</i>. Докажите, что прямые <i>KL, AC</i> и <i>EF</i> пересекаются в одной точке.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Обозначим через <i>R_a, R_b, R_c</i> и <i>R_d</i> радиусы описанных окружностей треугольников <i>DAB, ABC, BCD, CDA</i>. Докажите, что неравенство  <i>R_a < R_b < R_c < R_d</i>  выполняется тогда и только тогда, когда  180° – ∠<i>CDB</i> < ∠<i>CAB</i> < ∠<i>CDB</i>.

Середина стороны треугольника и основание высоты, проведённой к этой стороне, симметричны относительно точки касания этой стороны с вписанной окружностью. Докажите, что эта сторона составляет треть периметра треугольника.

Вписанная и вневписанная окружности треугольника <i>ABC</i> касаются стороны <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Известно, что  ∠<i>BAC</i> = 2∠<i>MAN</i>.

Докажите, что  <i>BC</i> = 2<i>MN</i>.

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность Ω. Пусть <i>L</i> и <i>W</i> – точки пересечения биссектрисы угла <i>A</i> со стороной <i>BC</i> и окружностью Ω соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ACL</i>. Восстановите треугольник <i>ABC</i>, если даны окружность Ω и точки <i>W</i> и <i>O</i>.

Можно ли расположить на плоскости четыре равных многоугольника так, чтобы каждые два из них не имели общих внутренних точек, но имели общий отрезок границы?

Из вершины <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> опущен перпендикуляр <i>BM</i> на биссектрису угла <i>C</i>. Пусть <i>K</i> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>.

Найдите угол <i>MKB</i>, если известно, что  ∠<i>BAC</i> = α.

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 57<°,  ∠<i>B</i> = 61°,  ∠<i>C</i> = 62°.  Какой из двух отрезков длиннее: биссектриса угла <i>A</i> или медиана, проведённая из вершины <i>B</i>?

Пусть <i>AH_a</i> и <i>BH_b</i> – высоты треугольника <i>ABC, P</i> и <i>Q</i> – проекции точки <i>H_a</i> на стороны <i>AB</i> и <i>AC</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> делит отрезок <i>H_aH_b</i> пополам.

Через точку внутри вписанного четырёхугольника провели две прямые, делящие его на четыре части. Три из этих частей – вписанные четырёхугольники, причем радиусы описанных вокруг них окружностей равны. Докажите, что четвёртая часть – четырёхугольник, вписанный в окружность того же радиуса.

В трапеции <i>ABCD</i> боковая сторона <i>AB</i> равна меньшему основанию <i>BC</i>, а диагональ <i>AC</i> равна основанию <i>AD</i>. Прямая, проходящая через вершину <i>B</i> параллельно <i>AC</i>, пересекает прямую <i>DC</i> в точке <i>M</i>. Докажите, что <i>AM</i> – биссектриса угла <i>BAC</i>.

На плоскости задано <i>n</i> точек, являющихся вершинами выпуклого <i>n</i>-угольника,  <i>n</i> > 3.  Известно, что существует ровно <i>k</i> равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.

  а) Докажите, что  <i>k</i> < ^2<i>n</i>/₃.

  б) Приведите пример конфигурации, для которой  <i>k</i> > 0,666<i>n</i>.

Многоугольник можно разрезать на две равные части тремя различными способами. Верно ли, что у него обязательно есть центр или ось симметрии?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Из вершин <i>B</i> и <i>C</i> опущены перпендикуляры <i>BM</i> и <i>CN</i> на биссектрисы углов <i>C</i> и <i>B</i> соответственно.

Докажите, что прямая <i>MN</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>AB</i> в точках их касания с вписанной окружностью.

Найдите геометрическое место центров всех вневписанных окружностей прямоугольных треугольников, имеющих данную гипотенузу.

Дан треугольник <i>ABC</i> и построена вневписанная окружность с центром <i>O</i>, касающаяся стороны <i>BC</i> и продолжений сторон <i>AB</i> и <i>AC</i>. Точка <i>O</i>₁ симметрична точке <i>O</i> относительно прямой <i>BC</i>. Найдите величину угла <i>A</i>, если известно, что точка <i>O</i>₁ лежит на описанной около треугольника <i>ABC</i> окружности.

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Из точки <i>Q</i> пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону "угол падения равен углу отражения". Точки касания траектории первого луча – <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., второго – <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, ... . Оказалось, что точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>P</i> лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые <i>A_iB_i</i> проходят через точку <i>P</i>....

Биссектрисы углов трапеции образуют при пересечении четырёхугольник с перпендикулярными диагоналями.

Докажите, что трапеция равнобокая.

Дана четырёхугольная пирамида, в которую можно вписать сферу. Точку касания этой сферы с основанием пирамиды спроектировали на рёбра основания. Докажите, что все проекции лежат на одной окружности.

Верно ли, что при любом <i>n</i> правильный 2<i>n</i>-угольник является проекцией некоторого многогранника, имеющего не более, чем  <i>n</i> + 2  грани?