Олимпиадные задачи из источника «X Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2014 г.)»

Дана описанная четырёхугольная пирамида <i>ABCDS</i>. Противоположные стороны основания пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>, причём точки <i>A</i> и <i>B</i> лежат на отрезках <i>PD</i> и <i>PC</i>. Вписанная сфера касается боковых граней <i>ABS</i> и <i>BCS</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что если прямые <i>PK</i> и <i>QL</i> пересекаются, то точка касания сферы и основания лежит на отрезке <i>BD</i>.

Дана тригармоническая четвёрка точек <i>A, B, C</i> и <i>D</i> (то есть  <i>AB·CD = AC·BD = AD·BC</i>).  Пусть <i>A</i>₁ – такая отличная от <i>A</i> точка, что четвёрка точек <i>A</i>₁, <i>B, C</i> и <i>D</i> тригармоническая. Точки <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ и <i>D</i>₁ определяются аналогично. Докажите, что

  a) <i>A, B, C</i>₁, <i>D</i>₁ лежат на одной окружности;

  б) точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C...

Существует ли выпуклый многогранник, у которого есть диагонали и каждая диагональ меньше любого ребра?

В четырёхугольнике <i>ABCD</i> вписанная окружность ω касается сторон <i>BC</i> и <i>DA</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Оказалось, что прямые <i>AB, FE</i> и <i>CD</i> пересекаются в одной точке <i>S</i>. Описанные окружности Ω и Ω₁ треугольников <i>AED</i> и <i>BFC</i>, вторично пересекают окружность ω в точках <i>E</i>₁ и <i>F</i>₁. Докажите, что прямые <i>EF</i> и <i>E</i>₁<i>F</i>₁ параллельны.

Дан четырёхугольник <i>KLMN</i>. Окружность с центром <i>O</i> пересекает его сторону <i>KL</i> в точках <i>A</i> и <i>A</i>₁, сторону <i>LM</i> в точках <i>B</i> и <i>B</i>₁, и т.д. Докажите что

  а) если описанные окружности треугольников <i>KDA, LAB, MBC</i> и <i>NCD</i> пересекаются в одной точке <i>P</i>, то описанные окружности треугольников <i>KD</i>₁<i>A</i>₁, <i>LA</i>₁<i>B</i>₁, <i>MB</i>₁<i>C</i><sub>1</sub&g...

Окружности ω₁ и ω₂ касаются друг друга внешним образом в точке <i>P</i>. Из точки <i>A</i> окружности ω₂, не лежащей на линии центров окружностей, проведены касательные <i>AB, AC</i> к ω₁. Прямые <i>BP, CP</i> вторично пересекают ω₂ в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Докажите, что прямая <i>EF</i>, касательная к ω₂ в точке <i>A</i>, и общая касательная к окружностям в точке <i>P</i> пересекаются в одной точке.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>AIC</i> в точках <i>A, C</i> пересекаются в точке <i>X</i>. Касательные к описанной окружности треугольника <i>BID</i> в точках <i>B, D</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Докажите, что точки <i>X, I, Y</i> лежат на одной прямой.

Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой <i>AC</i>, проведена биссектриса треугольника <i>BD</i>; отмечены середины <i>E</i> и <i>F</i> дуг <i>BD</i> окружностей, описанных около треугольников <i>ADB</i> и <i>CDB</i> соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.

Из некоторой точки <i>D</i> в плоскости треугольника <i>ABC</i> провели прямые, перпендикулярные к отрезкам <i>DA, DB, DC</i>, которые пересекают прямые <i>BC, AC, AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что середины отрезков <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ лежат на одной прямой.

В неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высота из вершины <i>A</i>, биссектриса из вершины <i>B</i> и медиана из вершины <i>C </i>пересекаются в одной точке <i>K</i>.

  а) Какая из сторон треугольника средняя по величине?

  б) Какой из отрезков <i>AK, BK, CK</i> средний по величине?

Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.

На окружности ω c центром <i>O</i> фиксированы точки <i>A</i> и <i>C</i>. Точка <i>B</i> движется по дуге <i>AC</i>. Точка <i>P</i> – фиксированная точка хорды <i>AC</i>. Прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>AO</i>, пересекает прямую <i>BA</i> в точке <i>A</i>₁; прямая, проходящая через <i>P</i> параллельно <i>CO</i>, пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>C</i>₁. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>A</i>₁<i>BC</i>₁ движется по прямой.

Окружности ω₁ и ω₂ пересекаются в точках <i>A</i> и <i>B</i>. Точки <i>K</i>₁ и <i>K</i>₂ на ω₁ и ω₂ соответственно таковы, что <i>K</i>₁<i>A</i> касается ω₂, а <i>K</i>₂<i>A</i> касается ω₁. Описанная окружность треугольника <i>K</i>₁<i>BK</i>₂ пересекает вторично прямые <i>AK</i>₁ и <i>AK</i>₂ в точках <i>L</i><sub&...

Точки <i>K, L, M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> квадрата <i>ABCD</i> образуют еще один квадрат. <i>DK</i> пересекает <i>NM</i> в точке <i>E</i>, а <i>KC</i> пересекает <i>LM</i> в точке <i>F</i>.

Докажите, что  <i>EF || AB</i>.

В угол вписаны непересекающиеся окружности ω₁ и ω₂. Рассмотрим все такие пары параллельных прямых <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂, что <i>l</i>₁ касается ω₁, <i>l</i>₂ касается ω₂ (ω₁, ω₂ находятся между <i>l</i>₁ и <i>l</i>₂). Докажите, что средние линии всех трапеций, образованных прямыми <i>l</i>₁, <i>l</i>₂ и сторонами данного угла, касаются фиксированной окружности.

Окружности ω₁ и ω₂, касающиеся внешним образом в точке <i>L</i>, вписаны в угол <i>BAC</i>. Окружность ω₁ касается луча <i>AB</i> в точке <i>E</i>, а окружность ω₂ – луча <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Прямая <i>EL</i> пересекает повторно окружность ω₂ в точке <i>Q</i>. Докажите, что  <i>MQ || AL</i>.

Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Через точку <i>B</i> провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону <i>AD</i> в точке <i>K</i>, а вторая   продолжение стороны <i>CD</i> в точке <i>L</i>. Пусть <i>F</i> – точка пересечения <i>KL</i> и <i>AC</i>. Докажите, что  <i>BF</i> ⊥ <i>KL</i>.

Перпендикуляр, восстановленный в вершине<i>C</i>параллелограмма<i>ABCD</i>к прямой<i>CD</i>, пересекает в точке<i>F</i>перпендикуляр, опущенный из вершины<i>A</i>на диагональ<i>BD</i>, а перпендикуляр, восстановленный из точки<i>B</i>к прямой<i>AB</i>, пересекает в точке<i>E</i>серединный перпендикуляр к отрезку<i>AC</i>. В каком отношении отрезок<i>EF</i>делится стороной<i>BC</i>?

Дана окружность с центром <i>O</i> и не лежащая на ней точка <i>P</i>. Пусть <i>X</i> – произвольная точка окружности, <i>Y</i> – точка пересечения биссектрисы угла <i>POX</i> и серединного перпендикуляра к отрезку <i>PX</i>. Найдите геометрическое место точек <i>Y</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i> проведены медиана <i>AM</i>, биссектриса <i>AL</i> и высота <i>AH</i> (<i>H</i> лежит между <i>L</i> и <i>B</i>). При этом  <i>ML = LH = HB</i>.

Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.

В треугольник вписан квадрат (две вершины на одной стороне и по одной на остальных). Докажите, что центр вписанной окружности треугольника лежит внутри квадрата.

Вокруг равнобедренного треугольника <i>ABC</i> с основанием <i>AB</i> описана окружность и в точке <i>B</i> проведена касательная к ней. Из точки <i>C</i> проведён перпендикуляр <i>CD</i> к этой касательной, также проведены высоты <i>AE</i> и <i>BF</i>. Докажите, что точки <i>D, E, F</i> лежат на одной прямой.

Есть бумажный квадрат со стороной 2. Можно ли вырезать из него 12-угольник, у которого длины всех сторон равны 1, а все углы кратны 45°?

Дан прямоугольный треугольник <i>ABC</i>. На катете <i>AB</i> во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник <i>ADB</i>, а на гипотенузе <i>AC</i> во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник <i>AEC</i>. Прямые <i>DE</i> и <i>AB</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Весь чертёж стерли, оставив только точки <i>A</i> и <i>B</i>. Восстановите точку <i>M</i>.

Верно ли, что существуют выпуклые многогранники с любым количеством диагоналей? (<i>Диагональю</i> называется отрезок, соединяющий две вершины многогранника и не лежащий на его поверхности.)