Олимпиадные задачи из источника «XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)»
XII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2016 г.)
НазадДан неравнобедренный треугольник <i>ABC, AA</i><sub>1</sub> – его биссектриса, <i>A</i><sub>2</sub> – точка касания вписанной окружности со стороной <i>BC</i>. Аналогично определяются точки <i>B</i><sub>1</sub>, <i>B</i><sub>2</sub>, <i>C</i><sub>1</sub>, <i>C</i><sub>2</sub>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника, <i>I</i> – центр вписанной окружности. Докажите, что радикальный центр описанных окружностей треугольников <i>AA</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>BB</i><sub>1</sub><i>B</i><sub>2</sub&...
Постройте треугольник по вершине <i>A</i>, центру <i>O</i> описанной окружности и <i>точке Лемуана L</i>.
Дан треугольник <i>ABC</i>. Точка <i>K</i> – основание биссектрисы внешнего угла <i>A</i>. Точка <i>M</i> – середина дуги <i>AC</i> описанной окружности. Точка <i>N</i> выбрана на биссектрисе угла <i>C</i> так, что <i>AN || BM</i>. Докажите, что точки <i>M, N</i> и <i>K</i> лежат на одной прямой.
Существует ли выпуклый многогранник, у которого рёбер столько же, сколько диагоналей? (<i>Диагональю</i> многогранника называется отрезок, соединяющий две вершины, не лежащие в одной грани.)
Дьявол предлагает Человеку сыграть в следующую игру. Сначала Человек платит некоторую сумму <i>s</i> и называет 97 троек {<i>i, j, k</i>}, где <i>i, j, k</i> – натуральные числа, не превосходящие 100. Затем Дьявол рисует выпуклый 100-угольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>...<i>A</i><sub>100</sub> с площадью, равной 100, и выплачивает Человеку выигрыш, равный сумме площадей 97 треугольников <i>A<sub>i</sub>A<sub>j</sub>A<sub>k</sub></i>. При каком наибольшем <i>s</i> Человеку выгодно согласиться?
Даны два треугольника <i>ABC</i> и <i>A'B'C'</i>, имеющие общие описанную и вписанную окружности, и точка <i>P</i>, лежащая внутри обоих треугольников.
Докажите, что сумма расстояний от <i>P</i> до сторон треугольника <i>ABC</i> равна сумме расстояний от <i>P</i> до сторон треугольника <i>A'B'C'</i>.
В треугольнике<i>ABC I</i>и<i>I<sub>a</sub></i>– центры вписанной и вневписанной окружностей,<i>A'</i>точка описанной окружности, диаметрально противоположная<i>A, AA</i><sub>1</sub>– высота. Докажите, что ∠<i>IA'I<sub>a</sub></i>= ∠<i>IA</i><sub>1</sub><i>I<sub>a</sub></i>.
Прямая, параллельная стороне <i>BC</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекает стороны <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Внутри треугольника <i>APQ</i> взята точка <i>M</i>. Отрезки <i>MB</i> и <i>MC</i> пересекают отрезок <i>PQ</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> соответственно. Пусть <i>N</i> – вторая точка пересечения описанных окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub> треугольников <i>PMF</i> и <i>QME</i>. Докажите, что точки <i>A, M</i> и <i>N</i> лежат на одной прямой.
Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>M</i>. Окружность ω касается отрезка <i>MA</i> в точке <i>P</i>, отрезка <i>MD</i> в точке <i>Q</i> и описанной окружности Ω четырёхугольника <i>ABCD</i> в точке <i>X</i>. Докажите, что <i>X</i> лежит на радикальной оси описанных окружностей ω<sub><i>Q</i></sub> и ω<sub><i>P</i></sub> треугольников <i>ACQ</i> и <i>BDP</i>.
Из высот остроугольного треугольника можно составить треугольник. Докажите, что из его биссектрис тоже можно составить треугольник.
Продолжения боковых сторон трапеции <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а её диагонали – в точке <i>Q</i>. Точка <i>M</i> на меньшем основании <i>BC</i> такова, что <i>AM = MD</i>. Докажите, что ∠<i>PMB</i> = ∠<i>QMB</i>.
Центр окружности ω<sub>2</sub> лежит на окружности ω<sub>1</sub>. Из точки <i>X</i> окружности ω<sub>1</sub> проведены касательные XP и XQ к окружности ω<sub>2</sub> (<i>P</i> и <i>Q</i> – точки касания), которые повторно пересекают ω<sub>1</sub> в точках <i>R</i> и <i>S</i>. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через середину отрезка <i>RS</i>.
Есть 101 жук, среди которых некоторые являются друзьями. Известно, что любые 100 жуков могут расположиться на плоскости так, что каждые два из них будут друзьями тогда и только тогда, когда расстояние между ними равно 1. Верно ли, что все жуки тоже могут расположиться таким же образом?
В треугольнике <i>ABC O</i> – центр описанной окружности, <i>I</i> – центр вписанной. Прямая, проходящая через <i>I</i> и перпендикулярная <i>OI</i>, пересекает <i>AB</i> в точке <i>X</i>, а внешнюю биссектрису угла <i>C</i> – в точке <i>Y</i>. В каком отношении <i>I</i> делит отрезок <i>XY</i>?
Пусть <i>H</i> – ортоцентр остроугольного треугольника <i>ABC</i>. На касательной в точке <i>H</i> к описанной окружности ω<sub><i>A</i></sub> треугольника <i>BHC</i> взята точка <i>X<sub>A</sub></i>, что <i>AH = AX<sub>A</sub></i> и <i>H ≠ X<sub>A</sub></i>. Аналогично определены точки <i>X<sub>B</sub></i> и <i>X<sub>C</sub></i>. Докажите, что треугольник <i>X<sub>A</sub>X<sub>B</sub>X<sub>C</sub></i> и ортотреугольник треугольника <i>ABC</i> подобны.
Диагонали параллелограмма <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>O</i>. Касательная, проведённая к описанной окружности треугольника <i>BOC</i> в точке <i>O</i>, пересекает луч <i>CB</i> в точке <i>F</i>. Описанная окружность треугольника <i>FOD</i> повторно пересекает прямую <i>BC</i> в точке <i>G</i>. Докажите, что <i>AG = AB</i>.
В точке <i>X</i> сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках <i>A, B</i> и <i>C</i>, блокируют его, то есть точка <i>X</i> лежит внутри треугольника <i>ABC</i>. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки <i>A, B</i> и <i>C</i> (известно, что точка <i>X</i> ни разу не попала на сторону треугольника)?
Диагонали четырёхугольника <i>ABCD</i> равны и пересекаются в точке <i>O</i>. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AB</i> и <i>CD</i> пересекаются в точке <i>P</i>, а серединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AD</i> – в точке <i>Q</i>. Найдите угол <i>POQ</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> ∠<i>A</i> = 60°, точки <i>M</i> и <i>N</i> на сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> соответственно таковы, что центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i> делит отрезок <i>MN</i> пополам. Найдите отношение <i>AN</i> : <i>MB</i>.
На прозрачном листе бумаги отмечены три точки.
Докажите, что лист можно согнуть по некоторой прямой так, чтобы эти точки оказались в вершинах равностороннего треугольника.
Можно ли разрезать правильный десятиугольник по нескольким диагоналям и сложить из получившихся кусков два правильных многоугольника?
Даны трапеция <i>ABCD</i> и перпендикулярная её основаниям <i>AD</i> и <i>BC</i> прямая <i>l</i>. По <i>l</i> движется точка <i>X</i>. Перпендикуляры, опущенные из <i>A</i> на <i>BX</i> и из <i>D</i> на <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите ГМТ <i>Y</i>.
Описанная окружность треугольника <i>ABC</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>CD</i> параллелограмма <i>ABCD</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Пусть <i>M</i> – середина дуги <i>KL</i>, не содержащей точку <i>B</i>. Докажите, что <i>DM</i> ⊥ <i>AC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i> высота <i>AH</i> делит медиану <i>BM</i> пополам. Докажите, что из медиан треугольника <i>ABM</i> можно составить прямоугольный треугольник.
В призму <i>ABCA'B'C'</i> вписана сфера, касающаяся боковых граней <i>BCC'B', CAA'C, ABB'A'</i> в точках <i>A</i><sub>0</sub>, <i>B</i><sub>0</sub>, <i>C</i><sub>0</sub> соответственно. При этом
∠<i>A<sub>0</sub>BB'</i> = ∠<i>B<sub>0</sub>CC'</i> = ∠<i>C<sub>0</sub>AA'</i>.
а) Чему могут равняться эти углы?
б) Докажите, что отрезки <i>AA</i><sub>0</sub>, <i>BB</i><sub>0</sub>, <i>CC</i><sub>0</sub> пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые <i>...