Олимпиадная задача по комбинаторной геометрии о покрытии куба прямоугольниками Шаповалова

  Куб 2×2×2 так оклеить можно (см. угловой кубик на рисунке). Если n чётно, разобьём куб n×n×n на кубики 2×2×2 и окрасим их в шахматном порядке. Заменим эти кубики на оклеенные указанным образом, причём будем располагать их так, что на верхних гранях чёрных кубиков длинные стороны прямоугольников идут в одном направлении, а на верхних гранях белых – в другом. Тогда каждый прямоугольник и будет граничить с пятью другими (см. рисунок).

  При нечётныхnобщее число прямоугольников равно 3n², то есть нечётно. Поэтому у какого-то из них число соседей должно быть чётным (см. задачу187972). Значит, требуемая оклейка невозможна.

При всех чётныхn.