Олимпиадные задачи по математике

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Tочка <i>A</i> лежит на первой окружности, но вне второй. Прямые <i>AP</i> и <i>AQ</i> пересекают вторую окружность в точках <i>B</i> и <i>C</i> соответственно. Укажите положение точки <i>A</i>, при котором треугольник <i>ABC</i> имеет наибольшую площадь.

В треугольнике <i>ABC  AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ – высоты. На стороне <i>AB</i> выбраны точки <i>M</i> и <i>K</i> так, что  <i>B</i>₁<i>K || BC</i>  и  <i>MA</i>₁ || <i>AC</i>.  Докажите, что  ∠<i>AA</i>₁<i>K</i> = ∠<i>BB</i>₁<i>M</i>.

Cерединные перпендикуляры к сторонам <i>BC</i> и <i>AC</i> остроугольного треугольника <i>ABC</i> пересекают прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, оставаясь в одной полуплоскости относительно <i>AB</i> (при этом точки <i>A</i> и <i>B</i> неподвижны). Докажите, что прямая <i>MN</i> касается фиксированной окружности.

Вокруг треугольника <i>ABC</i> описали окружность Ω. Пусть <i>L</i> и <i>W</i> – точки пересечения биссектрисы угла <i>A</i> со стороной <i>BC</i> и окружностью Ω соответственно. Точка <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ACL</i>. Восстановите треугольник <i>ABC</i>, если даны окружность Ω и точки <i>W</i> и <i>O</i>.

Две окружности пересекаются в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Из точки <i>Q</i> пустили в каждую из окружностей по одному лучу, которые отражаются от окружностей по закону "угол падения равен углу отражения". Точки касания траектории первого луча – <i>A</i>₁, <i>A</i>₂, ..., второго – <i>B</i>₁, <i>B</i>₂, ... . Оказалось, что точки <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>P</i> лежат на одной прямой. Докажите, что тогда все прямые <i>A_iB_i</i> проходят через точку <i>P</i>....

В остроугольном треугольнике <i> ABC </i> точка <i>H</i> – ортоцентр, <i>O</i> – центр описанной окружности, <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты. Точка <i>C</i>₂ симметрична <i>C</i> относительно <i>A</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что <i>H, O, C</i>₁ и <i>C</i>₂ лежат на одной окружности.

В треугольнике <i>ABC</i> провели биссектрису <i>CL</i>. Точки <i>A</i>₁ и <i>B</i>₁ симметричны точкам <i>A</i> и <i>B</i> относительно прямой <i>CL, A</i>₂ и <i>B</i>₂ симметричны точкам <i>A</i> и <i>B</i> относительно точки <i>L</i>. Пусть <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>AB</i>₁<i>B</i>₂ и <i>BA</i>₁<i>A</i>₂. Докажите,...

Точки <i>B</i>₁ и <i>B</i>₂ лежат на луче <i>AM</i>, а точки <i>C</i>₁ и <i>C</i>₂ на луче <i>AK</i>. Окружность с центром <i>O</i> вписана в треугольники <i>AB</i>₁<i>C</i>₁ и <i>AB</i>₂<i>C</i>₂.

Докажите, что углы <i>B</i>₁<i>OB</i>₂ и <i>C</i>₁<i>OC</i>₂ равны.

В треугольник <i>ABC</i> вписан ромб <i>CKLN</i> так, что точка <i>L</i> лежит на стороне <i>AB</i>, точка <i>N</i> – на стороне <i>AC</i>, точка <i>K</i> – на стороне <i>BC</i>. Пусть <i>O</i>₁, <i>O</i>₂ и <i>O</i> – центры описанных окружностей треугольников <i>ACL, BCL</i> и <i>ABC</i> соответственно. Пусть <i>P</i> – точка пересечения описанных окружностей треугольников <i>ANL</i> и <i>BKL</i>, отличная от <i>L</i>. Докажите, что точки <i>O</i>₁, <i>O</i>₂, <i>O&lt...

В треугольнике<i> ABC </i>угол<i> A </i>равен60<i>^o </i>. Пусть<i> BB₁ </i>и<i> CC₁ </i> — биссектрисы этого треугольника. Докажите, что точка, симметричная вершине A относительно прямой<i> B₁C₁ </i>, лежит на стороне<i> BC </i>.

В треугольнике<i> ABC </i>проведены биссектрисы<i> AD </i>,<i> BE </i>и<i> CF </i>, пересекающиеся в точке<i> I </i>. Серединный перпендикуляр к отрезку<i> AD </i>пересекает прямые<i> BE </i>и<i> CF </i>в точках<i> M </i>и<i> N </i>соответственно. Докажите, что точки<i> A </i>,<i> I </i>,<i> M </i>и<i> N </i>лежат на одной окружности.

В треугольнике $ABC$ $\angle A=60^{\circ}$, точка $T$ такова, что $\angle ATB=\angle BTC=\angle ATC$. Окружность, проходящая через точки $B$, $C$ и $T$, повторно пересекает прямые $AB$ и $AC$ в точках $K$ и $L$. Докажите, что точки $K$ и $L$ равноудалены от прямой $AT$.

В треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$, $CC_1$ и диаметр $AD$ описанной окружности. Прямые $BB_1$ и $DC_1$ пересекаются в точке $E$, а прямые $CC_1$ и $DB_1$ – в точке $F$. Докажите, что $\angle CAE=\angle BAF$.

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. $BL$ и $CN$ – биссектрисы треугольников $ABD$ и $ACD$ соответственно. Окружности, описанные вокруг треугольников $ABL$ и $CDN$, пересекаются в точках $P$ и $Q$. Докажите, что прямая $PQ$ проходит через середину дуги $AD$, не содержащей точку $B$.

На продолжениях сторон <i>CA</i> и <i>AB</i> треугольника <i>ABC</i> за точки <i>A</i> и <i>B</i> соответственно отложены отрезки <i>AE = BC</i> и <i>BF = AC</i>. Окружность касается отрезка <i>BF</i> в точке <i>N</i>, стороны <i>BC</i> и продолжения стороны <i>AC</i> за точку <i>C</i>. Точка <i>M</i> – середина отрезка <i>EF</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i> параллельна биссектрисе угла <i>A</i>.

Даны трапеция <i>ABCD</i> и перпендикулярная её основаниям <i>AD</i> и <i>BC</i> прямая <i>l</i>. По <i>l</i> движется точка <i>X</i>. Перпендикуляры, опущенные из <i>A</i> на <i>BX</i> и из <i>D</i> на <i>CX</i> пересекаются в точке <i>Y</i>. Найдите ГМТ  <i>Y</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> провели чевианы <i>AA', BB'</i> и <i>CC'</i>, которые пересекаются в точке <i>P</i>. Описанная окружность треугольника <i>PA'B'</i> пересекает прямые <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>M</i> и <i>N</i> соответственно, а описанные окружности треугольников <i>PC'B'</i> и <i>PA'C'</i> повторно пересекают <i>AC</i> и <i>BC</i> соответственно в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Проведём через середины отрезков <i>MN</i> и <i>KL</i> прямую <i>c</i>. Прямые <i>a</i> и <i>b</i> определяются аналогич...

Вокруг треугольника <i>ABC</i> с острым углом <i>C</i> описана окружность. На дуге <i>AB</i>, не содержащей точку <i>C</i>, выбрана точка <i>D</i>. Точка <i>D'</i> симметрична точке <i>D</i> относительно прямой <i>AB</i>. Прямые <i>AD'</i> и <i>BD'</i> пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AC</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i>. Пусть точка <i>C</i> движется по своей дуге <i>AB</i>. Докажите, что центр описанной окружности треугольника <i>CEF</i> движется по прямой.

Вписанная окружность ω треугольника <i>ABC</i> касается сторон <i>BC, AC</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₀, <i>B</i>₀ и <i>C</i>₀ соответственно. Биссектрисы углов <i>B</i> и <i>C</i> пересекают серединный перпендикуляр к отрезку <i>AA</i>₀ в точках <i>Q</i> и <i>P</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>PC</i>₀ и <i>QB</i>₀ пересекаются на окружности ω.

У листа бумаги только один ровный край. Лист согнули, потом разогнули обратно. <i>A</i> – общая точка ровного края и линии сгиба. Постройте перпендикуляр к этой линии в точке <i>A</i>. Сделайте это без помощи чертёжных инструментов, а лишь перегибая бумагу.

Через вершины <i>B</i> и <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> провели перпендикулярно прямой <i>BC</i> прямые <i>b</i> и <i>c</i> соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам <i>AC</i> и <i>AB</i> пересекают прямые <i>b</i> и <i>c</i> в точках <i>P</i> и <i>Q</i> соответственно. Докажите, что прямая <i>PQ</i> перпендикулярна медиане <i>AM</i> треугольника <i>ABC</i>.

В остроугольном неравнобедренном треугольнике <i>ABC</i> высоты <i>CC</i>₁ и <i>BB</i>₁ пересекают прямую, проходящую через вершину <i>A</i> и параллельную прямой <i>BC</i>, в точках <i>P</i> и <i>Q</i>. Пусть <i>A</i>₀ – середина стороны <i>BC</i>, а <i>AA</i>₁ – высота. Прямые <i>A</i>₀<i>C</i>₁ и <i>A</i>₀<i>B</i>₁ пересекают прямую <i>PQ</i> в точках <i>K</i> и <i>L</i>. Докажите, что описанные окружности...

На стороне <i>BE</i> правильного треугольника <i>ABE</i> вне его построен ромб <i>BCDE</i>. Отрезки <i>AC</i> и <i>BD</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Докажите, что  <i>AF < BD</i>.

На хорде <i>AC</i> окружности ω выбрали точку <i>B</i>. На отрезках <i>AB</i> и <i>BC</i> как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂, которые пересекают ω второй раз в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Лучи <i>O</i>₁<i>D</i> и <i>O</i>₂<i>E</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Лучи <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>G</i>.

Докажите, что прямая <i>FG</i> проходит через середину <i>AC</i>....