Олимпиадная задача по планиметрии: биссектриса в трапеции, сложность 2/5
Задача
В трапеции ABCD боковая сторона AB равна меньшему основанию BC, а диагональ AC равна основанию AD. Прямая, проходящая через вершину B параллельно AC, пересекает прямую DC в точке M. Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.
Решение
Решение 1:Из условия следует, что ∠BMC = ∠ACD = ∠CDA = ∠BCM. Значит, BM = BC = AB, и ∠BAM = ∠BMA = ∠MAC (см. рис.).
Решение 2:На продолжении стороны AB (за точку B) отметим точку P, а на продолжении диагонали AC (за точку C) – точку K. Тогда
∠MCK = ∠ACD = ∠ADC = ∠BCM, то есть CM – биссектриса угла BCK. Так как AC – биссектриса угла BAD и BM || AC, то BM – биссектриса угла PBC. Таким образом, M – точка пересечения биссектрис двух внещних углов треугольника ABC, следовательно, AM – биссектриса угла BAC.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь