Олимпиадные задачи из источника «VI Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2010 г.)»

Среди вершин двух неравных икосаэдров можно выбрать шесть, являющихся вершинами правильного октаэдра.

Найдите отношение рёбер икосаэдров.

Дана прямая <i>l</i> в пространстве и точка <i>A</i>, не лежащая на ней. Для каждой прямой <i>l'</i>, проходящей через <i>A</i>, построим общий перпендикуляр <i>XY</i> (<i>Y</i> лежит на <i>l'</i>) к прямым <i>l</i> и <i>l'</i>. Найдите ГМТ точек <i>Y</i>.

Шестиугольник <i>ABCDEF</i> вписан в окружность. Известно, что  <i>AB·CF</i> = 2<i>BC·FA</i>,  <i>CD·EB</i> = 2<i>DE·BC</i>,  <i>EF·AD</i> = 2<i>FA·DE</i>.

Докажите, что прямые <i>AD, BE</i> и <i>CF</i> пересекаются в одной точке.

Окружность с центром <i>F</i> и парабола с фокусом <i>F</i> пересекаются в двух точках.

Докажите, что на окружности найдутся такие четыре точки <i>A, B, C, D</i>, что прямые <i>AB, BC, CD</i> и <i>DA</i> касаются параболы.

Дан выпуклый четырёхугольник <i>ABCD</i>. Известно, что  ∠<i>ABD</i> + ∠<i>ACD</i> > ∠<i>BAC</i> + ∠<i>BDC</i>.  Докажите, что  <i>S_ABD + S_ACD > S_BAC + S_BDC</i>.

Вписанная окружность остроугольного треугольника <i>ABC</i> касается его сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. Пусть <i>A</i>₂, <i>B</i>₂ – середины отрезков <i>B</i>₁<i>C</i>₁, <i>A</i>₁<i>C</i>₁ соответственно, <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>ABC, P</i> – одна из точек пересечения прямой <i>CO</i> с вписанной окружностью. Прямые <i>PA</i><s...

Четырёхугольник <i>ABCD</i> вписан в окружность с центром <i>O</i>. Точки <i>C'</i> и <i>D'</i> диаметрально противоположны точкам <i>C</i> и <i>D</i> соответственно. Касательные к окружности в точках <i>C'</i> и <i>D'</i> пересекают прямую <i>AB</i> в точках <i>E</i> и <i>F</i> (<i>A</i> лежит между <i>E</i> и <i>B, B</i> – между <i>A</i> и <i>F</i>). Прямая <i>EO</i> пересекает стороны <i>AC</i> и <i>BC</i> в точках <i>X</i> и <i>Y</i>, а прямая <i>FO</i> пересекает стороны <i>AD</i> и <i>BD...

На хорде <i>AC</i> окружности ω выбрали точку <i>B</i>. На отрезках <i>AB</i> и <i>BC</i> как на диаметрах построили окружности ω₁ и ω₂ с центрами <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂, которые пересекают ω второй раз в точках <i>D</i> и <i>E</i> соответственно. Лучи <i>O</i>₁<i>D</i> и <i>O</i>₂<i>E</i> пересекаются в точке <i>F</i>. Лучи <i>AD</i> и <i>CE</i> пересекаются в точке <i>G</i>.

Докажите, что прямая <i>FG</i> проходит через середину <i>AC</i>....

Постройте треугольник по высоте и биссектрисе, проведённым из одной вершины, и медиане, проведённой из другой вершины.

В угол с вершиной <i>A</i> вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках <i>B</i> и <i>C</i>. Прямая, проходящая через <i>A</i>, пересекает окружность в точках <i>D</i> и <i>E</i>. Хорда <i>BX</i> параллельна прямой <i>DE</i>. Докажите, что отрезок <i>XC</i> проходит через середину отрезка <i>DE</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC  AA</i>₁, <i>BB</i>₁ и <i>CC</i>₁ – высоты. Прямые <i>AA</i>₁ и <i>B</i>₁<i>C</i>₁ пересекаются в точке <i>K</i>. Окружности, описанные вокруг треугольников <i>A</i>₁<i>KC</i>₁ и <i>A</i>₁<i>KB</i>₁, вторично пересекают прямые <i>AB</i> и <i>AC</i> в точках <i>N</i> и <i>L</i> соответственно. Докажите, что

  а) сумма диаметров этих окружностей равна...

На стороне <i>AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> нашлась такая точка <i>M</i>, что <i>CM</i> и <i>BM</i> параллельны <i>AB</i> и <i>CD</i> соответственно.

Докажите, что  <i>S_ABCD</i> ≥ 3<i>S_BCM</i>.

В выпуклом четырёхугольнике <i>ABCD  AB = BC</i>.  На диагонали <i>BD</i> выбрана такая точка <i>K</i>, что  ∠<i>AKB</i> + ∠<i>BKC</i> = ∠<i>A</i> + ∠<i>C</i>.

Докажите, что  <i>AK·CD = KC·AD</i>.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC  CH</i> – высота, проведённая к гипотенузе. Окружность с центром <i>H</i> и радиусом <i>CH</i> пересекает больший катет <i>AC</i> в точке <i>M</i>. Точка <i>B'</i> симметрична точке <i>B</i> относительно <i>H</i>. В точке <i>B'</i> восставлен перпендикуляр к гипотенузе, который пересекает окружность в точке <i>K</i>. Докажите, что:

  а)  <i>B'M || BC</i>;

  б)  <i>AK</i> – касательная к окружности.

Выпуклый <i>n</i>-угольник разрезан на три выпуклых многоугольника. У одного из них <i>n</i> сторон, у другого – больше чем <i>n</i>, у третьего – меньше чем <i>n</i>.

Каковы возможные значения <i>n</i>?

Дан треугольник <i>ABC</i>. С помощью двусторонней линейки, проведя не более восьми линий, постройте на стороне <i>AB</i> такую точку <i>D</i>, что

<i>AD</i> : <i>BD = BC</i> : <i>AC</i>.

Назовём точку внутри треугольника <i>хорошей</i>, если три проходящие через неё чевианы равны. В треугольнике <i>ABC</i> стороны <i>AB</i> и <i>BC</i> равны, а количество хороших точек нечётно. Чему оно может быть равно?

В треугольнике <i>ABC</i> проведена высота <i>AH</i>. Точки <i>I_b</i> и <i>I_c</i> – центры вписанных окружностей треугольников <i>ABH</i> и <i>CAH</i>; <i>L</i> – точка касания вписанной окружности треугольника <i>ABC</i> со стороной <i>BC</i>. Найдите угол <i>LI_bI_c</i>.

Через вершину <i>B</i> треугольника <i>ABC</i> проведена прямая, перпендикулярная медиане <i>BM</i>. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из вершин <i>A</i> и <i>C</i> (или их продолжения), в точках <i>K</i> и <i>N</i>. Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>ABK</i> и <i>CBN</i> соответственно. Докажите, что  <i>O</i>₁<i>M = O</i>₂<i>M</i>.

На стороне <i>BC</i> равностороннего треугольника <i>ABC</i> взяты такие точки <i>M</i> и <i>N</i> (<i>M</i> лежит между <i>B</i> и <i>N</i>) , что  ∠<i>MAN</i> = 30°.  Описанные окружности треугольников <i>AMC</i> и <i>ANB</i> пересекаются в точке <i>K</i>. Докажите, что прямая <i>AK</i> содержит центр описанной окружности треугольника <i>AMN</i>.

На высоте <i>BD</i> треугольника <i>ABC</i> взята такая точка <i>E</i>, что  ∠<i>AEC</i> = 90°.  Точки <i>O</i>₁ и <i>O</i>₂ – центры описанных окружностей треугольников <i>AEB</i> и <i>CEB; F, L</i> – середины отрезков <i>AC</i> и <i>O</i>₁<i>O</i>₂. Докажите, что точки <i>L, E, F</i> лежат на одной прямой.

Диагонали вписанного четырёхугольника <i>ABCD</i> пересекаются в точке <i>N</i>. Описанные окружности треугольников <i>ANB</i> и <i>CND</i> повторно пересекают стороны <i>BC</i> и <i>AD</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁, <i>D</i>₁. Докажите, что четырёхугольник <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁<i>D</i>₁ вписан в окружность с центром <i>N</i>.

Точки <i>A', B', C'</i> лежат на сторонах <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>. Точка <i>X</i> такова, что  ∠<i>AXB</i> = ∠<i>A'C'B'</i> + ∠<i>ACB</i>  и  ∠<i>BXC</i> = ∠<i>B'A'C'</i> + ∠<i>BAC</i>.

Докажите, что четырёхугольник <i>XA'BC'</i> – вписанный.

В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>  (∠<i>C</i> = 90°)  биссектрисы <i>AA</i>₁ и <i>BB</i>₁ пересекаются в точке <i>I</i>. Пусть <i>O</i> – центр описанной окружности треугольника <i>CA</i>₁<i>B</i>₁. Докажите, что  <i>OI</i> ⊥ <i>AB</i>.

Существует ли треугольник, в котором одна сторона равна какой-то из его высот, другая – какой-то из биссектрис, а третья – какой-то из медиан?