Олимпиадные задачи из источника «II Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2006 г.)»

Дан выпуклый четырехугольник<i> ABCD </i>.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>,<i> D' </i>– ортоцентры треугольников<i> BCD </i>,<i> CDA </i>,<i> DAB </i>,<i> ABC </i>. Докажите, что в четырехугольниках<i> ABCD </i>и<i> A'B'C'D' </i>соответствующие диагонали делятся точками пересечения в одном и том же отношении.

Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку пересечения высот неравностороннего треугольника <i>ABC</i>, делит его периметр и площадь в одном и том же отношении. Найдите это отношение.

В невыпуклом шестиугольнике каждый угол равен либо 90, либо 270 градусов. Верно ли, что при некоторых длинах сторон его можно разрезать на два подобных ему и неравных между собой шестиугольника?

Треугольники <i>ABC</i> и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁ подобны и по-разному ориентированы. На отрезке <i>AA</i>₁ взята такая точка <i>A'</i>, что  <i>AA'</i> : <i>A</i>₁<i>A' = BC</i> : <i>B</i>₁<i>C</i>₁.  Аналогично строим <i>B'</i> и <i>C'</i>. Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на одной прямой.

Дана окружность, точка<i> A </i>на ней и точка<i> M </i>внутри нее. Рассматриваются хорды<i> BC </i>, проходящие через<i> M </i>. Докажите, что окружности, проходящие через середины сторон всех треугольников<i> ABC </i>, касаются некоторой фиксированной окружности.

Дана окружность радиуса <i>R</i>. Две другие окружности, сумма радиусов которых также равна <i>R</i>, касаются её изнутри.

Докажите, что прямая, соединяющая точки касания, проходит через одну из общих точек этих окружностей.

Дан треугольник<i> ABC </i>и точка<i> P </i>внутри него.<i> A' </i>,<i> B' </i>,<i> C' </i>– проекции<i> P </i>на прямые<i> BC </i>,<i> CA </i>,<i> AB </i>. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника<i> A'B'C' </i>, лежит внутри треугольника<i> ABC </i>.

Существует ли выпуклый многоугольник, у которого каждая сторона равна какой-нибудь диагонали, а каждая диагональ– какой-нибудь стороне?

Две равные окружности пересекаются в точках<i> A </i>и<i> B </i>.<i> P </i>– отличная от<i> A </i>и<i> B </i>точка одной из окружностей,<i> X </i>,<i> Y </i>– вторые точки пересечения прямых<i> PA </i>,<i> PB </i>с другой окружностью. Докажите, что прямая, проходящая через<i> P </i>и перпендикулярная<i> AB </i>, делит одну из дуг<i> XY </i>пополам.

Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Две окружности с центрами в вершинах <i>A</i> и <i>C</i> проходят через <i>D</i>. Прямая <i>l</i> проходит через <i>D</i> и вторично пересекает окружности в точках <i>X, Y</i>. Докажите, что  <i>BX = BY</i>.

При каком наименьшем<i> n </i>существует<i> n </i>-угольник, который можно разрезать на треугольник, четырехугольник, ..., 2006-угольник?

Впишите в данный полукруг правильный треугольник наибольшего периметра.

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

Может ли развертка тетраэдра оказаться треугольником со сторонами 3, 4 и 5 (тетраэдр можно резать только по ребрам)?

Прямые, содержащие медианы треугольника <i>ABC</i>, вторично пересекают его описанную окружность в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁. Прямые, проходящие через <i>A, B, C </i> и параллельные противоположным сторонам, пересекают ее же в точках <i>A</i>₂, <i>B</i>₂, <i>C</i>₂. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>B</i>₁<i>B</i>₂, <i>C</i>₁<i>C</i><sub>2</sub&...

Дана окружность и точка<i> P </i>внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке<i> P </i>. Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.

Проекции точки <i>X</i> на стороны четырёхугольника <i>ABCD</i> лежат на одной окружности. <i>Y</i> – точка, симметричная <i>X</i> относительно центра этой окружности. Докажите, что проекции точки <i>B</i> на прямые <i>AX, XC, CY, YA</i> также лежат на одной окружности.

Пять прямых проходят через одну точку. Докажите, что существует замкнутая пятизвенная ломаная, вершины и середины звеньев которой лежат на этих прямых, причём на каждой прямой лежит ровно по одной вершине.