Олимпиадные задачи из источника «VII Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина (2011 г.)»

Три равных правильных тетраэдра имеют общий центр. Могут ли все грани многогранника, являющегося их пересечением, быть равны?

Дан остроугольный треугольник <i>ABC</i>.

Найдите на сторонах <i>BC, CA, AB</i> такие точки <i>A', B', C'</i>, чтобы наибольшая сторона треугольника <i>A'B'C'</i> была минимальна.

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>, пересекающая <i>BC, CA</i> и <i>AB</i> в точках <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Точка <i>A'</i> – середина отрезка, соединяющего проекции <i>A</i>₁ на <i>AB</i> и <i>AC</i>. Аналогично определяются точки <i>B'</i> и <i>C'</i>.

  а) Докажите, что <i>A', B'</i> и <i>C'</i> лежат на некоторой прямой <i>l'</i>.

  б) Докажите, что, если <i>l</i> проходит через центр описанной окружности треугольника <...

Из вершины <i>C</i> треугольника <i>ABC</i> проведены касательные <i>CX</i>, <i>CY</i> к окружности, проходящей через середины сторон треугольника.

Докажите, что прямые <i>XY, AB</i> и касательная в точке <i>C</i> к описанной окружности треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке.

На окружности с диаметром <i>AC</i> выбрана произвольная точка <i>B</i>, отличная от <i>A</i> и <i>C</i>. Пусть <i>M, N</i> – середины хорд <i>AB, BC</i>, а <i>P, Q</i> – середины меньших дуг, стягиваемых этими хордами. Прямые <i>AQ</i> и <i>BC</i> пересекаются в точке <i>K</i>, а прямые <i>CP</i> и <i>AB</i> – в точке <i>L</i>.

Докажите, что прямые <i>MQ, NP</i> и <i>KL</i> пересекаются в одной точке.

Четырёхугольник <i>ABCD</i> описан около окружности с центром <i>I</i>. Точки <i>M</i> и <i>N</i> – середины диагоналей <i>AC</i> и <i>BD</i>.

Докажите, что четырёхугольник <i>ABCD</i> – вписанный тогда и только тогда, когда  <i>IM</i> : <i>AC = IN</i> : <i>BD</i>.

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

На плоскости проведены  <i>n</i> > 2  прямых общего положения (то есть никакие две прямые не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке). Эти прямые разрезали плоскость на несколько частей. Какое

  а) наименьшее;

  б) наибольшее

количество углов может быть среди этих частей?

а) Существует ли треугольник, в котором наименьшая медиана длиннее наибольшей биссектрисы?б) Существует ли треугольник, в котором наименьшая биссектриса длиннее наибольшей высоты?

Дан треугольник <i>ABC</i> и прямая <i>l</i>. Прямые, симметричные <i>l</i> относительно <i>AB</i> и <i>AC</i> пересекаются в точке <i>A₁</i>. Точки <i>B₁</i>, <i>C₁</i> определяются аналогично. Докажите, что

  а) прямые <i>AA</i>₁, <i>BB</i>₁, <i>CC</i>₁ пересекаются в одной точке;

  б) эта точка лежит на описанной окружности треугольника <i>ABC</i> ;

  в) точки, построенные указанным способом для двух перпендикулярных прямых, диаметрально противоположны.

Дана окружность с центром <i>O</i> и радиусом 1. Из точки <i>A</i> к ней проведены касательные <i>AB</i> и <i>AC</i>. Точка <i>M</i>, лежащая на окружности, такова, что четырёхугольники <i>OBMC</i> и <i>ABMC</i> имеют равные площади. Найдите <i>MA</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> высота и медиана, проведённые из вершины <i>A</i>, образуют (вместе с прямой <i>BC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>A</i> является медианой, а высота и медиана, проведённые из вершины <i>B</i>, образуют (вместе с прямой <i>AC</i>) треугольник, в котором биссектриса угла <i>B</i> является биссектрисой. Найдите отношение сторон треугольника <i>ABC</i>.

а) Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников, вершины которых лежат на сторонах данного треугольника (по одной вершине внутри каждой стороны).б) Найдите геометрическое место центров тяжести тетраэдров, вершины которых лежат на гранях данного тетраэдра (по одной вершине внутри каждой грани).

Пусть <i>AP</i> и <i>BQ</i> – высоты данного остроугольного треугольника <i>ABC</i>. Постройте циркулем и линейкой на стороне <i>AB</i> точку <i>M</i> так, чтобы

∠<i>AQM</i> = ∠<i>BPM</i>.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°)  касается стороны <i>BC</i> в точке <i>A</i>₁, а прямой <i>AC</i> в точке <i>A</i>₂. Прямая <i>A</i>₁<i>A</i>₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника <i>ABC</i> в точке <i>A'</i>; аналогично определяется точка <i>C'</i>. Докажите, что  <i>AC || A'C'</i>.

В трапеции <i>ABCD</i> диагонали пересекаются в точке <i>O</i>. На боковой стороне <i>CD</i> выбрана точка <i>M</i>, а на основаниях <i>BC</i> и <i>AD</i> – точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что отрезки <i>MP</i> и <i>MQ</i> параллельны диагоналям трапеции. Докажите, что прямая <i>PQ</i> проходит через точку <i>O</i>.

Точка <i>H</i> – ортоцентр треугольника <i>ABC</i>. Касательные, проведённые к описанным окружностям треугольников <i>CHB</i> и <i>AHB</i> в точке <i>H</i>, пересекают прямую <i>AC</i> в точках <i>A</i>₁ и <i>C</i>₁ соответственно. Докажите, что  <i>A</i>₁<i>H = C</i>₁<i>H</i>.

Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник <i>ABC</i>  (∠<i>B</i> = 90°),  касается сторон <i>AB, BC, CA</i> в точках <i>C</i>₁, <i>A</i>₁, <i>B</i>₁ соответственно. <i>A</i>₂, <i>C</i>₂ – точки, симметричные точке <i>B</i>₁ относительно прямых <i>BC, AB</i> соответственно. Докажите, что прямые <i>A</i>₁<i>A</i>₂, <i>C</i>₁<i>C</i>₂ пересекаются на медиане треугольника <i>ABC</i>....

На сторонах <i>AB</i> и <i>AC</i> треугольника <i>ABC</i> выбрали точки <i>P</i> и <i>Q</i> так, что  <i>PB = QC</i>.  Докажите, что  <i>PQ < BC</i>.

Даны две единичные окружности ω₁ и ω₂, пересекающиеся в точках <i>A</i> и <i>B</i>. На окружности ω₁ взяли произвольную точку <i>M</i>, а на окружности ω₂ точку <i>N</i>. Через точки <i>M</i> и <i>N</i> провели ещё две единичные окружности ω₃ и ω₄. Обозначим повторное пересечение ω₁ и ω₃ через <i>C</i>, повторное пересечение окружностей ω₂ и ω₄ – через <i>D</i>. Докажите, что <i>ACBD</i> – параллелограмм.

В треугольнике <i>ABC</i> проведён серединный перпендикуляр к стороне <i>AB</i> до пересечения с другой стороной в некоторой точке <i>C'</i>. Аналогично построены точки <i>A'</i> и <i>B'</i>. Для каких исходных треугольников треугольник <i>A'B'C'</i> будет равносторонним?

В треугольнике <i>ABC</i> проведены биссектрисы <i>AA', BB', CC'</i>. Известно, что в треугольнике <i>A'B'C'</i> эти прямые также являются биссектрисами.

Верно ли, что треугольник <i>ABC</i> равносторонний?

В треугольнике <i>ABC</i>  ∠<i>A</i> = 60°.  Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AB</i> пересекает прямую <i>AC</i> в точке <i>C</i>₁. Серединный перпендикуляр к отрезку <i>AC</i> пересекает прямую <i>AB</i> в точке <i>B</i>₁. Докажите, что прямая <i>B</i>₁<i>C</i>₁ касается вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

В треугольнике <i>ABC</i> со сторонами  <i>AB</i> = 4,  <i>AC</i> = 6  проведена биссектриса угла <i>A</i>. На эту биссектрису опущен перпендикуляр <i>BH</i>.

Найдите <i>MH</i>, где <i>M</i> – середина <i>BC</i>.

Существует ли выпуклый семиугольник, который можно разрезать на 2011 равных треугольников?