Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 9 класса
Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
НазадВ сегмент вписываются всевозможные пары касающихся окружностей. Найдите множество их точек касания.
Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.
Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.
Докажите, что <i>S<sub>AKON</sub> + S<sub>CLOM</sub> = S<sub>BKOL</sub> + S<sub>DNOM</sub></i>.
Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>. Докажите, что ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.
Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.
Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))
Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.
Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.
На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости: а) 5 кругов; б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?
Доказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.
Выпуклый многоугольник обладает следующим свойством: если все прямые, на которых лежат его стороны, параллельно перенести на расстояние 1 во внешнюю сторону, то полученные прямые образуют многоугольник, подобный исходному, причём параллельные стороны окажутся пропорциональными. Доказать, что в данный многоугольник можно вписать окружность.
В трёх вершинах квадрата находятся три кузнечика. Они играют в чехарду, то есть прыгают друг через друга. При этом, если кузнечик <i>A</i> прыгает через кузнечика <i>B</i>, то после прыжка он оказывается от <i>B</i> на том же расстоянии, что и до прыжка, и, естественно, на той же прямой. Может ли один из них попасть в четвёртую вершину квадрата?
Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят <i>n</i>, расположенные в порядке возрастания (<i>ряд Фарея</i>). Пусть <sup><i>a</i></sup>/<sub><i>b</i></sub> и <sup><i>c</i></sup>/<sub><i>d</i></sub> – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |<i>bc – ad</i>| = 1.
Доказать, что можно расставить в вершинах правильного <i>n</i>-угольника действительные числа <i>x</i><sub>1</sub>, <i>x</i><sub>2</sub>, ..., <i>x<sub>n</sub></i>, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного <i>k</i>-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного <i>n</i>-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.
Имеется два правильных пятиугольника с одной общей вершиной. Вершины каждого пятиугольника нумеруются по часовой стрелке цифрами от 1 до 5, причём в общей вершине ставится цифра 1. Вершины с одинаковыми номерами соединены прямыми. Доказать, что полученные четыре прямые пересекаются в одной точке.
Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные${\frac{1}{1965}}$части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.
Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?
В плоскости дан треугольник <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub> и прямая <i>l</i> вне его, образующая с продолжением сторон треугольника <i>A</i><sub>1</sub><i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>2</sub><i>A</i><sub>3</sub>, <i>A</i><sub>3</sub><i>A</i><sub>1</sub> соответственно углы α<sub>3</sub>, α<sub>1</sub>, α<sub>2</sub>. Через точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>, <i>A</i><sub>3</sub> проводятся прямые, образующие с &l...
На окружности даны точки <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>,..., <i>A</i><sub>16</sub>. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i><sub>1</sub>, <i>A</i><sub>2</sub>,..., <i>A</i><sub>16</sub>. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i><sub>1</sub> является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i><sub>1</sub> в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?
Доказать, что если многоугольник имеет несколько осей симметрии, то все они пересекаются в одной точке.
На сколько частей разделяют<i>n</i>-угольник его диагонали, если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке?
На плоскости дано конечное множество многоугольников, каждые два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждым из этих многоугольников.
В окружность <i>S</i> вписан шестиугольник <i>ABCDEF</i>. Докажите, что точки пересечения прямых <i>AB</i> и <i>DE, BC</i> и <i>EF, CD</i> и <i>FA</i> лежат на одной прямой.
Даны прямая <i>l</i>, окружность и точка <i>M</i>, лежащая на окружности и не лежащая на прямой <i>l</i>. Пусть<i>P</i><sub>M</sub> — проектирование прямой<i>l</i>на данную окружность из точки<i>M</i>(точка <i>X</i>прямой отображается в отличную от <i>M</i>точку пересечения прямой<i>XM</i>с окружностью),<i>R</i> — движение плоскости, сохраняющее данную окружность (т. е. поворот плоскости вокруг центра окружности или симметрия относительно диаметра). Докажите, что композиция<i>P</i><sub>M</sub><sup>-1</sup><tt>o</tt><i>R</i><tt>o</tt><i>P</i><sub>M</sub>является прое...
Даны прямая <i>l</i>, окружность и точки <i>M</i>,<i>N</i>, лежащие на окружности и не лежащие на прямой <i>l</i>. Рассмотрим отображение <i>P</i>прямой <i>l</i>на себя, являющееся композицией проектирования прямой <i>l</i>на данную окружность из точки <i>M</i>и проектирования окружности на прямую <i>l</i>из точки <i>N</i>. (Если точка <i>X</i>лежит на прямой <i>l</i>, то<i>P</i>(<i>X</i>) есть пересечение прямой<i>NY</i>с прямой <i>l</i>, где <i>Y</i> — отличная от <i>M</i>точка пересечения прямой<i>MX</i>с данной окружностью.) Докажите, что преобразование <i>...