Олимпиадные задачи из источника «Прасолов В.В., Задачи по планиметрии» для 9 класса - сложность 2 с решениями

Точка <i>O</i>, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Пусть <i>K, L, M, N</i> – середины сторон <i>AB, BC, CD, AD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i>; отрезки <i>KM</i> и <i>LN</i> пересекаются в точке <i>O</i>.

Докажите, что   <i>S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM</i>.

Внутри параллелограмма <i>ABCD</i> выбрана точка <i>O</i>, причём  ∠<i>OAD</i> = ∠<i>OCD</i>.  Докажите, что  ∠<i>OBC</i> = ∠<i>ODC</i>.

Докажите, что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон с соответствующими вневписанными окружностями, пересекаются в одной точке {(точка Нагеля))

Дан выпуклый четырёхугольник и точка <i>M</i> внутри него. Доказать, что сумма расстояний от точки <i>M</i> до вершин четырёхугольника меньше суммы попарных расстояний между вершинами четырёхугольника.

На плоскости отмечена точка <i>O</i>. Можно ли так расположить на плоскости:  а) 5 кругов;   б) 4 круга, не покрывающих точку <i>O</i>, чтобы каждый луч с началом в точке <i>O</i> пересекал не менее двух кругов?

Доказать, что в произвольном выпуклом 2<i>n</i>-угольнике найдётся диагональ, не параллельная ни одной из его сторон.

Сколько осей симметрии может иметь семиугольник?

На окружности даны точки <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек <i>A</i>₁, <i>A</i>₂,..., <i>A</i>₁₆. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых <i>A</i>₁ в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида<div align="CENTER"> <i>Az</i>$\displaystyle \bar{z}$ + <i>cz</i> + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + <i>D</i> = 0, </div>где<i>A</i>и<i>D</i> — вещественные числа, а<i>c</i> — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество. б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Докажите, что прямая, проходящая через точки<i>a</i>₁и<i>a</i>₂, задаётся уравнением<div align="CENTER"> <i>z</i>($\displaystyle \bar{a}{1}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}{2}^{}$) - $\displaystyle \bar{z}$(<i>a</i>₁ - <i>a</i>₂) + (<i>a</i>₁$\displaystyle \bar{a}{2}^{}$ - $\displaystyle \bar{a}{1}^{}$<i>a</i>₂) = 0. </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>и<i>c</i>— комплексные числа, лежащие на единичной окружности с центром в нуле. Докажите, что комплексное число${\frac{1}{2}}$(<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>-$\bar{a}$<i>bc</i>) соответствует основанию высоты, опущенной из вершины<i>a</i>на сторону<i>bc</i>.

Пусть<i>a</i> — комплексное число, лежащее на единичной окружности<i>S</i>с центром в нуле,<i>t</i> — вещественное число (точка, лежащая на вещественной оси). Пусть, далее,<i>b</i> — отличная от<i>a</i>точка пересечения прямой<i>at</i>с окружностью<i>S</i>. Докажите, что$\bar{b}$= (1 -<i>ta</i>)(<i>t</i>-<i>a</i>).

Пусть<i>a</i>и<i>b</i> — комплексные числа, лежащие на окружности с центром в нуле,<i>u</i> — точка пересечения касательных к этой окружности в точках<i>a</i>и<i>b</i>. Докажите, что<i>u</i>= 2<i>ab</i>/(<i>a</i>+<i>b</i>).

Докажите, что треугольники<i>abc</i>и<i>a'b'c'</i>собственно подобны, тогда и только тогда, когда<div align="CENTER"> <i>a'</i>(<i>b</i> - <i>c</i>) + <i>b'</i>(<i>c</i> - <i>a</i>) + <i>c'</i>(<i>a</i> - <i>b</i>) = 0. </div>

Докажите, что если треугольники<i>abc</i>и<i>a'b'c'</i>на комплексной плоскости собственно подобны, то<div align="CENTER"> (<i>b</i> - <i>a</i>)/(<i>c</i> - <i>a</i>) = (<i>b'</i> - <i>a'</i>)/(<i>c'</i> - <i>a'</i>). </div>

Пусть<i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — комплексные числа, причем углы<i>a</i>0<i>b</i>и<i>c</i>0<i>d</i>равны и противоположно ориентированы. Докажите, что тогда$\Im$<i>abcd</i>= 0.

В трапеции<i>ABCD</i>с основаниями<i>AD</i>и <i>BC</i>через точку <i>B</i>проведена прямая, параллельная стороне<i>CD</i>и пересекающая диагональ<i>AC</i>в точке <i>P</i>, а через точку <i>C</i> — прямая, параллельная стороне<i>AB</i>и пересекающая диагональ<i>BD</i>в точке <i>Q</i>. Докажите, что прямая<i>PQ</i>параллельна основаниям трапеции.

Дан треугольник<i>ABC</i>. Пусть <i>O</i> — точка пересечения его медиан, а <i>M</i>,<i>N</i>и <i>P</i> — точки сторон<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CA</i>, делящие эти стороны в одинаковых отношениях (т. е.<i>AM</i>:<i>MB</i>=<i>BN</i>:<i>NC</i>=<i>CP</i>:<i>PA</i>=<i>p</i>:<i>q</i>). Докажите, что: а)<i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника<i>MNP</i>; б)<i>O</i> — точка пересечения медиан треугольника, образованного прямыми<i>AN</i>,<i>BP</i>и <i>CM</i>.

На сторонах<i>AB</i>,<i>BC</i>и <i>CD</i>параллелограмма<i>ABCD</i>взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>и <i>M</i>соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть <i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i> — прямые, проходящие через <i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>параллельно прямым<i>KL</i>,<i>KM</i>,<i>ML</i>соответственно. Докажите, что прямые <i>b</i>,<i>c</i>,<i>d</i>проходят через одну точку.

Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.

Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁,<i>D</i>₁ — образы точек <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>,<i>D</i>при аффинном преобразовании. Докажите, что если$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{CD}$, то$\overrightarrow{A_1B_1}$=$\overrightarrow{C_1D_1}$.

Докажите, что при аффинном преобразовании параллельные прямые переходят в параллельные.

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.

Постройте с помощью одного циркуля точку, симметричную точке <i>A</i>относительно прямой, проходящей через данные точки <i>B</i>и <i>C</i>.