Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Тангенсы и котангенсы углов треугольника»

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что для непрямоугольного треугольника <i>tg</i>$\alpha$+<i>tg</i>$\beta$+<i>tg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>/(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²- 8<i>R</i>²).

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\beta$<i>ctg</i>$\gamma$+<i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\gamma$= 1; б) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$-<i>ctg</i>$\alpha$<i>ctg</i>$\beta$<i>ctg</i>$\gamma$= 1/(sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$).

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что <i>tg</i>$\alpha$+<i>tg</i>$\beta$+<i>tg</i>$\gamma$=<i>tg</i>$\alpha$<i>tg</i>$\beta$<i>tg</i>$\gamma$.

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>($\alpha$/2) +<i>ctg</i>($\beta$/2) +<i>ctg</i>($\gamma$/2) =<i>p</i>/<i>r</i>; б) <i>tg</i>($\alpha$/2) +<i>tg</i>($\beta$/2) +<i>tg</i>($\gamma$/2) =$\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$${\frac{a}{r_a}}$+${\frac{b}{r_b}}$+${\frac{c}{r_c}}$$\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$/2.

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) <i>ctg</i>$\alpha$+<i>ctg</i>$\beta$+<i>ctg</i>$\gamma$= (<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4<i>S</i>; б) <i>a</i>²<i>ctg</i>$\alpha$+<i>b</i>²<i>ctg</i>$\beta$+<i>c</i>²<i>ctg</i>$\gamma$= 4<i>S</i>.