Олимпиадные задачи из источника «параграф 8. Окружности»

Центры окружностей с радиусами 1, 3 и 4 расположены на сторонах <i>AD</i>и <i>BC</i>прямоугольника <i>ABCD</i>. Эти окружности касаются друг друга и прямых <i>AB</i>и <i>CD</i>так, как показано на рис. Докажите, что существует окружность, касающаяся всех этих окружностей и прямой <i>AB</i>.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57650/problem_57650_img_2.gif" border="1"></div>

На отрезке <i>AB</i>взята точка <i>C</i>и на отрезках <i>AC</i>,<i>BC</i>и <i>AB</i>как на диаметрах построены полуокружности, лежащие по одну сторону от прямой <i>AB</i>. Через точку <i>C</i>проведена прямая, перпендикулярная <i>AB</i>, и в образовавшиеся криволинейные треугольники <i>ACD</i>и <i>BCD</i>вписаны окружности <i>S</i>₁и <i>S</i>₂(рис.). Докажите, что радиусы этих окружностей равны.

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57649/problem_57649_img_2.gif" border="1"></div>

В окружность вписан квадрат, а в сегмент, отсеченный от круга из сторон этого квадрата, вписан другой квадрат. Найдите отношение длин сторон этих квадратов.

Найдите отношение сторон треугольника, одна из медиан которого делится вписанной окружностью на три равные части.

Хорда окружности удалена от центра на расстояние <i>h</i>. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

<div align="center"><img src="/storage/problem-media/57646/problem_57646_img_2.gif" border="1"></div>

Пусть <i>E</i> — середина стороны <i>AB</i>квадрата <i>ABCD</i>, а точки <i>F</i>и <i>G</i>выбраны на сторонах <i>BC</i>и <i>CD</i>так, что <i>AG</i>|<i>EF</i>. Докажите, что отрезок <i>FG</i>касается окружности, вписанной в квадрат <i>ABCD</i>.

Окружность <i>S</i>с центром <i>O</i>на основании <i>BC</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>касается равных сторон <i>AB</i>и <i>AC</i>. На сторонах <i>AB</i>и <i>AC</i>взяты точки <i>P</i>и <i>Q</i>так, что отрезок <i>PQ</i>касается окружности <i>S</i>. Докажите, что тогда 4<i>PB</i>^.<i>CQ</i>=<i>BC</i>².