Задача
Окружность Sс центром Oна основании BCравнобедренного треугольника ABCкасается равных сторон ABи AC. На сторонах ABи ACвзяты точки Pи Qтак, что отрезок PQкасается окружности S. Докажите, что тогда 4PB . CQ=BC2.
Решение
Пусть D,Eи F — точки касания окружности с BP,PQи QC; $\angle$BOD= 90o-$\angle$B= 90o-$\angle$C=$\angle$COF=$\alpha$, $\angle$DOP=$\angle$POE=$\beta$и $\angle$EOQ=$\angle$QOF=$\gamma$. Тогда 180o=$\angle$BOC= 2$\alpha$+ 2$\beta$+ 2$\gamma$, т. е. $\alpha$+$\beta$+$\gamma$= 90o. Так как $\angle$BPO=$\angle$DPE/2 = (180o-$\angle$DOE)/2 = 90o-$\beta$и $\angle$QOC=$\gamma$+$\alpha$= 90o-$\beta$, то $\angle$BPO=$\angle$COQ. Ясно также, что $\angle$PBO=$\angle$OCQ. Поэтому $\triangle$BPO$\sim$$\triangle$COQ, т. е. PB . CQ=BO . CO=BC2/4.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь