Олимпиадные задачи из источника «параграф 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы»
параграф 3. Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
НазадДокажите, что если<div align="CENTER"> sin$\displaystyle \alpha$ + sin$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \gamma$ = $\displaystyle \sqrt{3}$(cos$\displaystyle \alpha$ + cos$\displaystyle \beta$ + cos$\displaystyle \gamma$), </div>то один из углов треугольника<i>ABC</i>равен60<sup><tt>o</tt></sup>.
а) Докажите, что если для некоторого треугольника <i>p</i>= 2<i>R</i>+<i>r</i>, то этот треугольник прямоугольный. б) Докажите, что если <i>p</i>= 2<i>R</i>sin$\varphi$+<i>rctg</i>($\varphi$/2), то $\varphi$ — один из углов треугольника (предполагается, что 0 <$\varphi$<$\pi$).
Пусть <i>O</i> — центр вписанной окружности треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что ${\frac{OA^2}{bc}}$+${\frac{OB^2}{ac}}$+${\frac{OC^2}{ab}}$= 1.
Докажите, что <i>a</i>(<i>b</i>+<i>c</i>) = (<i>r</i>+<i>r</i><sub>a</sub>)(4<i>R</i>+<i>r</i>-<i>r</i><sub>a</sub>) и <i>a</i>(<i>b</i>-<i>c</i>) = (<i>r</i><sub>b</sub>-<i>r</i><sub>c</sub>)(4<i>R</i>-<i>r</i><sub>b</sub>-<i>r</i><sub>c</sub>).
Докажите, что ${\frac{1}{r^3}}$-${\frac{1}{r_a^3}}$-${\frac{1}{r_b^3}}$-${\frac{1}{r_c^3}}$=${\frac{12R}{S^2}}$.
Докажите, что <i>r</i><sub>a</sub><i>r</i><sub>b</sub>+<i>r</i><sub>b</sub><i>r</i><sub>c</sub>+<i>r</i><sub>c</sub><i>r</i><sub>a</sub>=<i>p</i><sup>2</sup>.
Докажите, что <i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>b</sub>+<i>r</i><sub>c</sub>= 4<i>R</i>+<i>r</i>.
Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle {\frac{1}{(p-a)(p-b)}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{(p-b)(p-c)}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{(p-c)(p-a)}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{r^2}}$. </div>
Докажите, что${\frac{1}{h_a}}$+${\frac{1}{h_b}}$+${\frac{1}{h_c}}$=${\frac{1}{r_a}}$+${\frac{1}{r_b}}$+${\frac{1}{r_c}}$=${\frac{1}{r}}$.
Докажите, что ${\frac{2}{h_a}}$=${\frac{1}{r_b}}$+${\frac{1}{r_c}}$.
Докажите, что <i>S</i>=<i>cr</i><sub>a</sub><i>r</i><sub>b</sub>/(<i>r</i><sub>a</sub>+<i>r</i><sub>b</sub>).
Докажите, что <i>S</i>=<i>r</i><sub>c</sub><sup>2</sup><i>tg</i>($\alpha$/2)<i>tg</i>($\beta$/2)<i>ctg</i>($\gamma$/2).
Докажите, что: а) <i>rp</i>=<i>r</i><sub>a</sub>(<i>p</i>-<i>a</i>),<i>rr</i><sub>a</sub>= (<i>p</i>-<i>b</i>)(<i>p</i>-<i>c</i>) и <i>r</i><sub>b</sub><i>r</i><sub>c</sub>=<i>p</i>(<i>p</i>-<i>a</i>); б) <i>S</i><sup>2</sup>=<i>p</i>(<i>p</i>-<i>a</i>)(<i>p</i>-<i>b</i>)(<i>p</i>-<i>c</i>) (<i>формула Герона</i>); в) <i>S</i><sup>2</sup>=<i>rr</i><sub>a</sub><i>r</i><sub>b</sub><i&...
Докажите, что: а) <i>a</i>=<i>r</i>(<i>ctg</i>($\beta$/2) +<i>ctg</i>($\gamma$/2)) =<i>r</i>cos($\alpha$/2)/(sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2)); б) <i>a</i>=<i>r</i><sub>a</sub>(<i>tg</i>($\beta$/2) +<i>tg</i>($\gamma$/2)) =<i>r</i><sub>a</sub>cos($\alpha$/2)/(cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2)); в) <i>p</i>-<i>b</i>=<i>rctg</i>($\beta$/2) =<i>r</i><sub>a</sub><i>tg</i>($\gamma$/2); г) <i>p</i>=<i>r</i><sub>a</sub><i>ctg</i>($\alpha$/2).