Одна из точек A_iлежит внутри треугольника, образованного тремя другими точками, поэтому можно считать, что треугольник A₁A₂A₃остроугольный (или прямоугольный). Числа $\lambda_{1}^{}$,$\lambda_{2}^{}$и $\lambda_{3}^{}$легко находятся из соответствующей системы уравнений; в результате получаем $\lambda_{1}^{}$= (b²+c²-a²)/2,$\lambda_{2}^{}$= (a²+c²-b²)/2 и $\lambda_{3}^{}$= (a²+b²-c²)/2, где a=A₂A₃,b=A₁A₃и c=A₁A₂. Согласно задаче 5.45, б) A₁A₄²= 4R²-a², где R — радиус описанной окружности треугольника A₁A₂A₃. Поэтому $\lambda_{4}^{}$=A₁A₄²-$\lambda_{1}^{}$= 4R²- (a²+b²+c²)/2 =A₂A₄²-$\lambda_{2}^{}$=A₃A₄²-$\lambda_{3}^{}$. Проверим теперь, что $\sum$1/$\lambda_{i}^{}$= 0. Так как (b²+c²-a²)/2 =bccos$\alpha$= 2Sctg$\alpha$, то 1/$\lambda_{1}^{}$=tg$\alpha$/2S. Остается заметить, что 2/(a²+b²+c²- 8R²) = (tg$\alpha$+tg$\beta$+tg$\gamma$)/2S(задача 12.49).

Ответ задачи отсутствует