Олимпиадные задачи из источника «параграф 4. Длины сторон, высоты, биссектрисы»
параграф 4. Длины сторон, высоты, биссектрисы
НазадДокажите, что длину биссектрисы <i>l</i><sub>a</sub>можно вычислить по следующим формулам: а) <i>l</i><sub>a</sub>=$\sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$; б) <i>l</i><sub>a</sub>= 2<i>bc</i>cos($\alpha$/2)/(<i>b</i>+<i>c</i>); в) <i>l</i><sub>a</sub>= 2<i>R</i>sin$\beta$sin$\gamma$/cos(($\beta$-$\gamma$)/2); г) <i>l</i><sub>a</sub>= 4<i>p</i>sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2)/(sin$\beta$+ sin$\gamma$).
Докажите, что<div align="CENTER"><!-- MATH \begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*} --> <img width="523" height="59" align="BOTTOM" border="0" src="/storage/problem-media/57617/problem_57617_img_2.gif" alt="\begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*}"></div><br clear="ALL">
Докажите, что <i>h</i><sub>a</sub>=<i>bc</i>/2<i>R</i>.
Докажите, что${\frac{a+b-c}{a+b+c}}$=<i>tg</i>$\left(\vphantom{\frac{\alpha }{2}}\right.$${\frac{\alpha }{2}}$$\left.\vphantom{\frac{\alpha }{2}}\right)$<i>tg</i>$\left(\vphantom{\frac{\beta }{2}}\right.$${\frac{\beta}{2}}$$\left.\vphantom{\frac{\beta }{2}}\right)$.
Докажите, что ${\frac{1}{ab}}$+${\frac{1}{bc}}$+${\frac{1}{ca}}$=${\frac{1}{2Rr}}$.
Докажите, что <i>abc</i>= 4<i>prR</i>и <i>ab</i>+<i>bc</i>+<i>ca</i>=<i>r</i><sup>2</sup>+<i>p</i><sup>2</sup>+ 4<i>rR</i>.