Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. Теорема косинусов»

Окружности радиусов<i>t</i>_a,<i>t</i>_b,<i>t</i>_cкасаются внутренним образом описанной окружности треугольника<i>ABC</i>в его вершинах<i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и касаются друг друга внешним образом. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>t</i>_a = $\displaystyle {\frac{Rh_a}{a+h_a}}$,    <i>t</i>_b = $\displaystyle {\frac{Rh_b}{b+h_b}}$,    <i>t</i>_c = $\displaystyle {\frac{Rh_c}{c+h_c}}$. </div>

Пусть <i>O</i> — центр описанной окружности (неправильного) треугольника <i>ABC</i>, <i>M</i> — точка пересечения медиан. Докажите, что прямая <i>OM</i>перпендикулярна медиане <i>CC</i>₁тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²= 2<i>c</i>².

Докажите, что медианы <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁треугольника <i>ABC</i>перпендикулярны тогда и только тогда, когда <i>a</i>²+<i>b</i>²= 5<i>c</i>².

Длины сторон параллелограмма равны <i>a</i>и <i>b</i>, длины диагоналей — <i>m</i>и <i>n</i>. Докажите, что <i>a</i>⁴+<i>b</i>⁴=<i>m</i>²<i>n</i>²тогда и только тогда, когда острый угол параллелограмма равен 45^<tt>o</tt>.

Докажите, что cos²($\alpha$/2) =<i>p</i>(<i>p</i>-<i>a</i>)/<i>bc</i>и sin²($\alpha$/2) = (<i>p</i>-<i>b</i>)(<i>p</i>-<i>c</i>)/<i>bc</i>.

Докажите, что 4<i>S</i>= (<i>a</i>²- (<i>b</i>-<i>c</i>)²)<i>ctg</i>($\alpha$/2).

Докажите, что: а) <i>m</i>_a²= (2<i>b</i>²+ 2<i>c</i>²-<i>a</i>²)/4; б) <i>m</i>_a²+<i>m</i>_b²+<i>m</i>_c²= 3(<i>a</i>²+<i>b</i>²+<i>c</i>²)/4.