Олимпиадные задачи из источника «параграф 5. Синусы и косинусы углов треугольника»
параграф 5. Синусы и косинусы углов треугольника
НазадПусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что ${\frac{\cos^2(\alpha /2)}{a}}$+${\frac{\cos^2(\beta /2)}{b}}$+${\frac{\cos^2(\gamma /2)}{c}}$=${\frac{p}{4Rr}}$.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что <i>ab</i>cos$\gamma$+<i>bc</i>cos$\alpha$+<i>ca</i>cos$\beta$= (<i>a</i><sup>2</sup>+<i>b</i><sup>2</sup>+<i>c</i><sup>2</sup>)/2.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) sin<sup>2</sup>$\alpha$+ sin<sup>2</sup>$\beta$+ sin<sup>2</sup>$\gamma$= (<i>p</i><sup>2</sup>-<i>r</i><sup>2</sup>- 4<i>rR</i>)/2<i>R</i><sup>2</sup>. б) 4<i>R</i><sup>2</sup>cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$=<i>p</i><sup>2</sup>- (2<i>R</i>+<i>r</i>)<sup>2</sup>.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что sin 2$\alpha$+ sin 2$\beta$+ sin 2$\gamma$= 4 sin$\alpha$sin$\beta$sin$\gamma$.
Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$+ cos 2$\gamma$+ 4 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$+ 1 = 0; б) cos<sup>2</sup>$\alpha$+ cos<sup>2</sup>$\beta$+ cos<sup>2</sup>$\gamma$+ 2 cos$\alpha$cos$\beta$cos$\gamma$= 1. в)cos 2$\alpha$+ cos 2$\beta$+ cos 2$\gamma$=${\frac{OH^2}{2R^2}}$-${\frac{3}{2}}$, где<i>O</i>— центр описанной окружности,<i>H</i>— точка пересечения высот.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что cos$\alpha$+ cos$\beta$+ cos$\gamma$= (<i>R</i>+<i>r</i>)/<i>R</i>.
α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) cos($\alpha$/2)sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2) = (<i>p</i>-<i>a</i>)/4<i>R</i>; б) sin($\alpha$/2)cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2) =<i>r</i><sub>a</sub>/4<i>R</i>.
Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что а) sin($\alpha$/2)sin($\beta$/2)sin($\gamma$/2) =<i>r</i>/4<i>R</i>; б) <i>tg</i>($\alpha$/2)<i>tg</i>($\beta$/2)<i>tg</i>($\gamma$/2) =<i>r</i>/<i>p</i>; в) cos($\alpha$/2)cos($\beta$/2)cos($\gamma$/2) =<i>p</i>/4<i>R</i>.