Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Разные задачи»

Пусть <i>A</i>₄ — ортоцентр треугольника <i>A</i>₁<i>A</i>₂<i>A</i>₃. Докажите, что существуют такие числа $\lambda_{1}^{}$,...,$\lambda_{4}^{}$, что <i>A</i>_i<i>A</i>_j²=$\lambda_{i}^{}$+$\lambda_{j}^{}$, причем, если треугольник не прямоугольный, то $\sum$(1/$\lambda_{i}^{}$) = 0.

Докажите, что сумма котангенсов углов треугольника <i>ABC</i>равна сумме котангенсов углов треугольника, составленного из медиан треугольника <i>ABC</i>.

Продолжения биссектрис треугольника <i>ABC</i>пересекают описанную окружность в точках <i>A</i>₁,<i>B</i>₁и <i>C</i>₁. Докажите, что <i>S</i>_ABC/<i>S</i>_A₁B₁C₁= 2<i>r</i>/<i>R</i>, где <i>r</i>и <i>R</i> — радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника <i>ABC</i>.

Докажите, что если <i>ctg</i>($\alpha$/2) = (<i>b</i>+<i>c</i>)/<i>a</i>, то треугольник прямоугольный.

Вписанная окружность касается стороны <i>BC</i>треугольника <i>ABC</i>в точке <i>K</i>. Докажите, что площадь треугольника равна <i>BK</i>^.<i>KCctg</i>($\alpha$/2).

Найдите все треугольники, у которых углы образуют арифметическую прогрессию, а стороны: а) арифметическую прогрессию; б) геометрическую прогрессию.

Найдите высоту трапеции, у которой основания равны <i>a</i> и <i>b</i> (<i>a</i> < <i>b</i>), угол между диагоналями равен <!-- MATH $90^{\circ}$ --> 90^<tt>o</tt>, а угол между продолжениями боковых сторон равен <!-- MATH $45^{\circ}$ --> 45^<tt>o</tt>.