Задача
В треугольнике ABCугол Cпрямой. Докажите, что при гомотетии с центром Cи коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.
Решение
Пусть d — расстояние от центра описанной окружности до образа центра вписанной окружности при рассматриваемой гомотетии. Достаточно проверить, что R=d+ 2r. Пусть (0, 0),(2a, 0) и (0, 2b) — координаты вершин данного треугольника. Тогда (a,b) — координаты центра описанной окружности, (r,r) — координаты центра вписанной окружности, причем r=a+b-R. Следовательно, d2= (2r-a)2+ (2r-b)2=a2+b2- 4r(a+b-r) + 4r2= (R- 2r)2, так как a2+b2=R2.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет