Олимпиадные задачи из источника «параграф 7. Вычисление углов»
параграф 7. Вычисление углов
НазадВ остроугольном треугольнике <i>ABC</i>отрезки <i>BO</i>и <i>CO</i>, где <i>O</i> — центр описанной окружности, продолжены до пересечения в точках <i>D</i>и <i>E</i>со сторонами <i>AC</i>и <i>AB</i>. Оказалось, что $\angle$<i>BDE</i>= 50<sup><tt>o</tt></sup>и $\angle$<i>CED</i>= 30<sup><tt>o</tt></sup>. Найдите величины углов треугольника <i>ABC</i>.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i>с основанием <i>AC</i>угол при вершине <i>B</i>равен 20<sup><tt>o</tt></sup>. На сторонах <i>BC</i>и <i>AB</i>взяты точки <i>D</i>и <i>E</i>соответственно так, что $\angle$<i>DAC</i>= 60<sup><tt>o</tt></sup>и $\angle$<i>ECA</i>= 50<sup><tt>o</tt></sup>. Найдите угол <i>ADE</i>.
В равнобедренном треугольнике <i>ABC</i> с основанием <i>BC</i> угол при вершине <i>A</i> равен 80°. Внутри треугольника <i>ABC</i> взята точка <i>M</i> так, что ∠<i>MBC</i> = 30° и ∠<i>MCB</i> = 10°. Найдите величину угла <i>AMC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>проведена биссектриса <i>BE</i>и на стороне <i>BC</i>взята точка <i>K</i>так, что $\angle$<i>AKB</i>= 2$\angle$<i>AEB</i>. Найдите величину угла <i>AKE</i>, если $\angle$<i>AEB</i>=$\alpha$.
В треугольнике <i>ABC</i>угол <i>C</i>вдвое больше угла <i>A</i>и <i>b</i>= 2<i>a</i>. Найдите углы этого треугольника.
В прямоугольном треугольнике <i>ABC</i>с прямым углом <i>A</i>на высоте <i>AD</i>как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону <i>AB</i>в точке <i>K</i>и сторону <i>AC</i>в точке <i>M</i>. Отрезки <i>AD</i>и <i>KM</i>пересекаются в точке <i>L</i>. Найдите острые углы треугольника <i>ABC</i>, если известно, что <i>AK</i>:<i>AL</i>=<i>AL</i>:<i>AM</i>.
Найдите угол <i>B</i>треугольника <i>ABC</i>, если длина высоты <i>CH</i>равна половине длины стороны <i>AB</i>, а $\angle$<i>BAC</i>= 75<sup><tt>o</tt></sup>.
В треугольнике <i>ABC</i>проведены биссектрисы <i>AD</i>и <i>BE</i>. Найдите величину угла <i>C</i>, если известно, что <i>AD</i><sup> . </sup><i>BC</i>=<i>BE</i><sup> . </sup><i>AC</i>и <i>AC</i>$\ne$<i>BC</i>.
В треугольнике <i>ABC</i>высота <i>AH</i>равна медиане <i>BM</i>. Найдите угол <i>MBC</i>.
Докажите, что если ${\frac{1}{b}}$+${\frac{1}{c}}$=${\frac{1}{l_a}}$, то $\angle$<i>A</i>= 120<sup><tt>o</tt></sup>.
Даны две пересекающиеся окружности радиуса <i>R</i>, причем расстояние между их центрами больше <i>R</i>. Докажите, что β = 3α (рис.). <div align="center"><img src="/storage/problem-media/57633/problem_57633_img_2.gif" border="1"></div>