Пусть медиана BMтреугольника ABCпересекает вписанную окружность в точках Kи L, причем BK=KL=LM=x. Пусть для определенности тоска касания вписанной окружности со стороной ACлежит на отрезке MC. Тогда, так как при симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку BMточки Bи Mпереходят друг в друга, а вписанная окружность переходит в себя, касательная MCпереходит в касательную BC. Следовательно, BC=MC=AC/2, т. е. b= 2a. Так как BM²= (2a²+ 2c²-b²)/4 (см. задачу 12.11, а)), то 9x²= (2a²+2c²-4a²)/4 = (c²-a²)/2. Пусть точка P — точка касания вписанной окружности со стороной BC. Тогда BP= (a+c-b)/2 = (c-a)/2. С другой стороны, по свойству касательной BP²=BK ^. BL, т. е. BP²= 2x². Поэтому 2x²= ((c-a)/2)². Перемножая равенства 9x²= (c²-a²)/2 и ((c-a)/2)²= 2x², получаем (c+a)/(c-a) = 9/4, т. е. c:a= 13 : 5. В итоге получаем, что a:b:c= 5 : 10 : 13.

Ответ задачи отсутствует