Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Теорема синусов»

На окружности с диаметром <i>AB</i>взяты точки <i>C</i>и <i>D</i>. Прямая <i>CD</i>и касательная к окружности в точке <i>B</i>пересекаются в точке <i>X</i>. Выразите <i>BX</i>через радиус окружности <i>R</i>и углы $\varphi$=$\angle$<i>BAC</i>и $\psi$=$\angle$<i>BAD</i>.

Два подобных равнобедренных треугольника имеют общую вершину. Докажите, что проекции их оснований на прямую, соединяющую середины оснований, равны.

Обозначим вершины и точки звеньев (неправильной) пятиконечной звезды так, как показано на рис. Докажите, что<div align="CENTER"> <i>A</i>₁<i>C</i>^.<i>B</i>₁<i>D</i>^.<i>C</i>₁<i>E</i>^.<i>D</i>₁<i>A</i>^.<i>E</i>₁<i>B</i> = <i>A</i>₁<i>D</i>^.<i>B</i>₁<i>E</i>^.<i>C</i>₁<...

Даны прямые <i>a</i>и <i>b</i>, пересекающиеся в точке <i>O</i>, и произвольная точка <i>P</i>. Прямая <i>l</i>, проходящая через точку <i>P</i>, пересекает прямые <i>a</i>и <i>b</i>в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Докажите, что величина (<i>AO</i>/<i>OB</i>)/(<i>PA</i>/<i>PB</i>) не зависит от выбора прямой <i>l</i>.

Через точку <i>S</i>проведены прямые <i>a</i>,<i>b</i>,<i>c</i>и <i>d</i>; прямая <i>l</i>пересекает их в точках <i>A</i>,<i>B</i>,<i>C</i>и <i>D</i>. Докажите, что величина <i>AC</i>^.<i>BD</i>/(<i>BC</i>^.<i>AD</i>) не зависит от выбора прямой <i>l</i>.

В остроугольном треугольнике <i>ABC</i>проведены высоты <i>AA</i>₁и <i>CC</i>₁. Точки <i>A</i>₂и <i>C</i>₂симметричны <i>A</i>₁и <i>C</i>₁относительно середин сторон <i>BC</i>и <i>AB</i>. Докажите, что прямая, соединяющая вершину <i>B</i>с центром <i>O</i>описанной окружности, делит отрезок <i>A</i>₂<i>C</i>₂пополам.

Докажите, что<div align="CENTER"> $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right.$$\displaystyle {\frac{a+b}{c}}$ = cos$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a+b}{c}=\cos\frac{\alpha -\beta }{2} }\right/$sin$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$,    и    $\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right.$$\displaystyle {\frac{a-b}{c}}$ = sin$\displaystyle {\frac{\alpha -\beta }{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{a-b}{c}= \sin\frac{\alpha -\beta }{2}}\right/$cos$\displaystyle {\frac{\gamma }{2}}$. </div>

Выразите площадь треугольника <i>ABC</i>через длину стороны <i>BC</i>и величины углов <i>B</i>и <i>C</i>.

Точка <i>D</i>лежит на основании <i>AC</i>равнобедренного треугольника <i>ABC</i>. Докажите, что радиусы описанных окружностей треугольников <i>ABD</i>и <i>CBD</i>равны.

Докажите, что площадь <i>S</i>треугольника равна <i>abc</i>/4<i>R</i>.