а) Обозначим длину стороны правильногоn-угольника, вписанного в данную окружность, через a_n. Рассмотрим произвольный неправильныйn-угольник, вписанный в эту окружность. У него обязательно найдется сторона длиной меньше a_n. А вот стороны длиной больше a_nу него может и не быть, но тогда этот многоугольник можно заключить в сегмент, отсекаемый стороной правильногоn-угольника. Так как при симметрии относительно стороны правильногоn-угольника сегмент, отсекаемый этой стороной, попадает внутрьn-угольника, площадьn-угольника больше площади сегмента. Поэтому можно считать, что у рассматриваемогоn-угольника есть сторона длиной меньше a_nи сторона длиной больше a_n. Мы можем поменять местами соседние стороныn-угольника, т. е. вместо многоугольникаA₁A₂A₃...A_nвзять многоугольникA₁A₂'A₃...A_n, где точка A₂' симметрична точке A₂относительно серединного перпендикуляра к отрезкуA₁A₃(рис.). При этом оба многоугольника вписаны в одну и ту же окружность и их площади равны. Ясно, что с помощью этой операции можно сделать соседними любые две стороны многоугольника. Поэтому будем считать, что у рассматриваемогоn-угольникаA₁A₂>a_nиA₂A₃<a_n. Пусть A₂' — точка, симметричная точке A₂относительно серединного перпендикуляра к отрезкуA₁A₃. Если точка A₂'' лежит на дугеA₂A₂', то разность углов при основанииA₁A₃у треугольникаA₁A₂''A₃меньше, чем у треугольникаA₁A₂A₃, так как величины угловA₁A₃A₂'' и A₃A₁A₂'' заключены между величинами угловA₁A₃A₂и A₃A₁A₂. ПосколькуA₁A₂' <a_nиA₁A₂>a_n, то на дугеA₂A₂' существует точка A₂'', для которойA₁A₂'' =a_n. Площадь треугольникаA₁A₂''A₃больше площади треугольникаA₁A₂A₃(см. задачу 11.47, а)). Площадь многоугольникаA₁A₂''A₃...A_nбольше площади исходного многоугольника, и у него по крайней мере на 1 больше число сторон, равных a_n. За конечное число шагов мы придем к правильномуn-угольнику, причем каждый раз площадь увеличивается. Следовательно, площадь любого неправильногоn-угольника, вписанного в окружность, меньше площади правильногоn-угольника, вписанного в ту же окружность. б) Доказательство аналогично предыдущему, нужно только воспользоваться результатом задачи 11.47, б), а не задачи 11.47, а).

Ответ задачи отсутствует