Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. Треугольник»

Докажите, что из всех треугольников данного периметра 2<i>p</i> равносторонний имеет наибольшую плошадь.

Дан треугольник со сторонами <i>a, b</i> и <i>c</i>, причём  <i>a ≥ b ≥ c</i>;  <i>x, y</i> и <i>z</i> – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что <div align="CENTER"><i>bc + ca – ab < bc</i> cos <i>x + ca</i> cos <i>y + ab</i> cos <i>z</i> ≤ ½ (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²). </div>

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон треугольника площади <i>S</i>; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

<i>a</i>² ctg α₁ + <i>b</i>² ctg β₁ + <i>c</i>² ctg γ₁ ≥ 4<i>S</i>,  причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

Докажите, что если α, β, γ и α₁, β₁, γ₁ – углы двух треугольников, то   ^{cos α₁}/_{sin α} + ^{cos β₁}/_{sin β} + ^{cos γ₁}/_{sin γ} ≤ ctg α + ctg β + ctg γ.

Докажите, что треугольники с длинами сторон <i>a, b, c</i> и <i>a</i>₁, <i>b</i>₁, <i>c</i>₁ подобны тогда и только тогда, когда   <img align="absMIDDLE" src="/storage/problem-media/57530/problem_57530_img_2.gif">

Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?

Площадь треугольника<i>ABC</i>равна 1. Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁ — середины сторон<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>соответственно. На отрезках<i>AB</i>₁,<i>CA</i>₁,<i>BC</i>₁взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>соответственно. Чему равна минимальная площадь общей части треугольников<i>KLM</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁?

В данный треугольник поместите центрально симметричный многоугольник наибольшей площади.

Периметр треугольника<i>ABC</i>равен 2<i>p</i>. На сторонах<i>AB</i>и<i>AC</i>взяты точки <i>M</i>и <i>N</i>так, что<i>MN</i>|<i>BC</i>и<i>MN</i>касается вписанной окружности треугольника<i>ABC</i>. Найдите наибольшее значение длины отрезка<i>MN</i>.

Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот, у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.

Рассмотрим все остроугольные треугольники с заданными стороной <i>a</i> и углом α.

Чему равен максимум суммы квадратов длин сторон <i>b</i> и <i>c</i>?

Докажите, что среди всех треугольников<i>ABC</i>с фиксированным углом $\alpha$и полупериметром <i>p</i>наибольшую площадь имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.

Докажите, что среди всех треугольников с фиксированным углом $\alpha$и площадью <i>S</i>наименьшую длину стороны<i>BC</i>имеет равнобедренный треугольник с основанием<i>BC</i>.