Докажем сначала, что 33 точки разместить таким образом нельзя. Действительно, если на отрезке длиной 1 находятся 33 точки, то расстояние между какими-нибудь двумя из них не превосходит 1/32. Отрезок с концами в этих точках содержит две точки, а он должен содержать не более1 + 1000/32²точек, т. е. менее двух точек. Докажем теперь, что 32 точки разместить можно. Возьмем 32 точки, делящие отрезок на равные части (концы данного отрезка входят в число этих 32 точек). Тогда отрезок длиной dсодержит либо [31d], либо [31d] + 1 точек. Нужно доказать, что[31d]$\le$1000d². Если 31d< 1, то[31d] = 0 < 1000d². Если 31d$\ge$1, то[31d]$\le$31d$\le$(31d)²= 961d²< 1000d². римечание [x] — целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.

Ответ задачи отсутствует