Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум» - сложность 5 с решениями
а) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет правильный<i>n</i>-угольник. б) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, вписанных в данную окружность, наибольший периметр имеет правильный<i>n</i>-угольник.
а) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, описанных около данной окружности, наименьшую площадь имеет правильный<i>n</i>-угольник. б) Докажите, что среди всех<i>n</i>-угольников, описанных около данной окружности, наименьший периметр имеет правильный<i>n</i>-угольник.
Докажите, что среди всех четырехугольников с фиксированными длинами сторон наибольшую площадь имеет вписанный четырехугольник.
Найдите внутри треугольника<i>ABC</i>точку <i>O</i>, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.
Дан треугольник<i>ABC</i>. Найдите внутри его точку <i>O</i>, для которой сумма длин отрезков<i>OA</i>,<i>OB</i>,<i>OC</i>минимальна. (Обратите внимание на тот случай, когда один из углов треугольника больше120<sup><tt>o</tt></sup>.)