Олимпиадные задачи из источника «глава 11. Задачи на максимум и минимум» - сложность 4 с решениями

Какое наибольшее число точек можно поместить на отрезке длиной 1 так, чтобы на любом отрезке длиной <i>d</i>, содержащемся в этом отрезке, лежало не больше 1 + 1000<i>d</i>²точек?

Дан выпуклый многоугольник<i>A</i>₁...<i>A</i>_n. Докажите, что точка многоугольника, для которой максимальна сумма расстояний от нее до всех вершин, является вершиной.

На основании<i>AD</i>трапеции<i>ABCD</i>дана точка <i>K</i>. Найдите на основании<i>BC</i>точку <i>M</i>, для которой площадь общей части треугольников<i>AMD</i>и<i>BKC</i>максимальна.

Дан угол<i>XAY</i>. Концы <i>B</i>и <i>C</i>отрезков<i>BO</i>и<i>CO</i>длиной 1 перемещаются по лучам<i>AX</i>и<i>AY</i>. Постройте четырехугольник<i>ABOC</i>наибольшей площади.

Дан треугольник со сторонами <i>a, b</i> и <i>c</i>, причём  <i>a ≥ b ≥ c</i>;  <i>x, y</i> и <i>z</i> – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что <div align="CENTER"><i>bc + ca – ab < bc</i> cos <i>x + ca</i> cos <i>y + ab</i> cos <i>z</i> ≤ ½ (<i>a</i>² + <i>b</i>² + <i>c</i>²). </div>

Пусть <i>a, b</i> и <i>c</i> – длины сторон треугольника площади <i>S</i>; α₁, β₁ и γ₁ – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

<i>a</i>² ctg α₁ + <i>b</i>² ctg β₁ + <i>c</i>² ctg γ₁ ≥ 4<i>S</i>,  причём равенство достигается, только когда рассматриваемые треугольники подобны.

Какую наименьшую ширину должна иметь бесконечная полоса бумаги, из которой можно вырезать любой треугольник площадью 1?

Площадь треугольника<i>ABC</i>равна 1. Пусть <i>A</i>₁,<i>B</i>₁,<i>C</i>₁ — середины сторон<i>BC</i>,<i>CA</i>,<i>AB</i>соответственно. На отрезках<i>AB</i>₁,<i>CA</i>₁,<i>BC</i>₁взяты точки <i>K</i>,<i>L</i>,<i>M</i>соответственно. Чему равна минимальная площадь общей части треугольников<i>KLM</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁?

В данный треугольник поместите центрально симметричный многоугольник наибольшей площади.