Олимпиадные задачи из источника «параграф 6. Метод ГМТ»

Дан четырехугольник <i>ABCD</i>, причем <i>AB</i><<i>BC</i>и <i>AD</i><<i>DC</i>. Точка <i>M</i>лежит на диагонали <i>BD</i>. Докажите, что <i>AM</i><<i>MC</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>таковы, что для любой четвертой точки <i>M</i>либо <i>MA</i>$\leq$<i>MB</i>, либо <i>MA</i>$\leq$<i>MC</i>. Докажите, что точка <i>A</i>лежит на отрезке <i>BC</i>.

Внутри выпуклого многоугольника взяты точки <i>P</i>и <i>Q</i>. Докажите, что существует вершина многоугольника, менее удаленная от <i>Q</i>, чем от <i>P</i>.

Пусть <i>D</i>и <i>E</i> — середины сторон <i>AB</i>и <i>BC</i>остроугольного треугольника <i>ABC</i>, а точка <i>M</i>лежит на стороне <i>AC</i>. Докажите, что если <i>MD</i><<i>AD</i>, то <i>ME</i>><i>EC</i>.

Через середину каждой диагонали выпуклого четырехугольника проводится прямая, параллельная другой диагонали. Эти прямые пересекаются в точке <i>O</i>. Докажите, что отрезки, соединяющие точку <i>O</i>с серединами сторон четырехугольника, делят его площадь на равные части.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.

Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.