Олимпиадные задачи из источника «параграф 9. Окружность Ферма-Аполлония»

Точки <i>M</i>и <i>N</i>таковы, что <i>AM</i>:<i>BM</i>:<i>CM</i>=<i>AN</i>:<i>BN</i>:<i>CN</i>. Докажите, что прямая <i>MN</i>проходит через центр <i>O</i>описанной окружности треугольника <i>ABC</i>.

Прямая <i>l</i>пересекает две окружности в четырех точках. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными в этих точках, описанный, причем центр его описанной окружности лежит на прямой, соединяющей центры данных окружностей.

Докажите, что множество точек <i>X</i>, обладающих тем свойством, что <i>k</i>₁<i>A</i>₁<i>X</i>²+ ... +<i>k</i>_n<i>A</i>_n<i>X</i>²=<i>c</i>: а) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n$\ne$0 является окружностью или пустым множеством; б) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n= 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.