Олимпиадные задачи из источника «параграф 1. ГМТ - прямая или отрезок»
параграф 1. ГМТ - прямая или отрезок
Назада) Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Докажите, что величина <i>AX</i><sup>2</sup>+<i>CX</i><sup>2</sup>-<i>BX</i><sup>2</sup>-<i>DX</i><sup>2</sup>не зависит от выбора точки <i>X</i>. б) Четырехугольник <i>ABCD</i>не является параллелограммом. Докажите, что все точки <i>X</i>, удовлетворяющие соотношению <i>AX</i><sup>2</sup>+<i>CX</i><sup>2</sup>=<i>BX</i><sup>2</sup>+<i>DX</i><sup>2</sup>, лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.
Внутри окружности взята точка <i>A</i>. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку <i>A</i>.
Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).
Даны окружность <i>S</i>и точка <i>M</i>вне ее. Через точку <i>M</i>проводятся всевозможные окружности <i>S</i><sub>1</sub>, пересекающие окружность <i>S</i>; <i>X</i> — точка пересечения касательной в точке <i>M</i>к окружности <i>S</i><sub>1</sub>с продолжением общей хорды окружностей <i>S</i>и <i>S</i><sub>1</sub>. Найдите ГМТ <i>X</i>.
На плоскости даны точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых разность квадратов длин отрезков <i>AM</i>и <i>BM</i>постоянна.
Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри ромба <i>ABCD</i>и обладающих тем свойством, что $\angle$<i>AMD</i>+$\angle$<i>BMC</i>= 180<sup><tt>o</tt></sup>.
Дан прямоугольник <i>ABCD</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, для которых <i>AX</i>+<i>BX</i>=<i>CX</i>+<i>DX</i>.
Даны две прямые, пересекающиеся в точке <i>O</i>. Найдите ГМТ <i>X</i>, для которых сумма длин проекций отрезков <i>OX</i>на эти прямые постоянна.
Два колеса радиусов <i>r</i><sub>1</sub>и <i>r</i><sub>2</sub>катаются по прямой <i>l</i>. Найдите множество точек пересечения <i>M</i>их общих внутренних касательных.
Стороны <i>AB</i> и <i>CD</i> выпуклого четырёхугольника <i>ABCD</i> площади <i>S</i> не параллельны.
Найдите геометрическое место точек <i>X</i>, лежащих внутри четырёхугольника, для которых <i>S<sub>ABX</sub> + S<sub>CDX</sub> = <sup>S</sup></i>/<sub>2</sub>.