Пусть прямая lвысекает на данных окружностях дуги A₁B₁и A₂B₂величиной 2$\alpha_{1}^{}$и 2$\alpha_{2}^{}$; O₁и O₂ — центры окружностей, R₁и R₂ — их радиусы. Пусть K — точка пересечения касательных в точках A₁и A₂. По теореме синусов KA₁:KA₂= sin$\alpha_{2}^{}$: sin$\alpha_{1}^{}$, т. е. KA₁sin$\alpha_{1}^{}$=KA₂sin$\alpha_{2}^{}$. А так как KO₁²=KA₁²+R₁²и KO₂²=KA₂²+R₂², то (sin²$\alpha_{1}^{}$)KO₁²- (sin²$\alpha_{2}^{}$)KO₂²= (R₁sin$\alpha_{1}^{}$)²- (R₂sin$\alpha_{2}^{}$)²=q. Аналогично доказывается, что и остальные точки пересечения касательных принадлежат геометрическому месту таких точек X, что (sin²$\alpha_{1}^{}$)XO₁²- (sin²$\alpha_{2}^{}$)XO₂²=q. Это ГМТ — окружность, центр которой лежит на прямой O₁O₂(см. замечание к задаче 7.47).

Ответ задачи отсутствует