Олимпиадные задачи из источника «параграф 2. ГМТ - окружность или дуга окружности»
параграф 2. ГМТ - окружность или дуга окружности
НазадТреугольник <i>ABC</i>правильный, <i>M</i> — некоторая точка. Докажите, что если числа <i>AM</i>,<i>BM</i>и <i>CM</i>образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.
Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой<i>KO</i>, где<i>O</i>— центр описанной окружности,<i>K</i>— точка Лемуана.
Пусть <i>AD</i>и <i>AE</i> — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника <i>ABC</i>и <i>S</i><sub>a</sub> — окружность с диаметром <i>DE</i>, окружности <i>S</i><sub>b</sub>и <i>S</i><sub>c</sub>определяются аналогично. Докажите, что: а) окружности <i>S</i><sub>a</sub>,<i>S</i><sub>b</sub>и <i>S</i><sub>c</sub>имеют две общие точки <i>M</i>и <i>N</i>, причем прямая <i>MN</i>проходит через центр описанной окружности треугольника <i>ABC</i>; б) проекции точки <i>M</i>(и точки <i>N</i>) на стороны треугольника <i>ABC&...
Пусть <i>S</i> — окружность Аполлония для точек <i>A</i>и <i>B</i>, причем точка <i>A</i>лежит вне окружности <i>S</i>. Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>B</i> — середина отрезка <i>PQ</i>.
На плоскости даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых <i>AM</i>:<i>BM</i>=<i>k</i>(<i>окружность Аполлония</i>).
Даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Две окружности касаются прямой <i>AB</i>(одна — в точке <i>A</i>, другая — в точке <i>B</i>) и касаются друг друга в точке <i>M</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>.
Найдите геометрическое место середин хорд данной окружности, проходящих через данную точку.
Отрезок постоянной длины движется по плоскости так, что его концы скользят по сторонам прямого угла <i>ABC</i>. По какой траектории движется середина этого отрезка?