Задача
Докажите, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис треугольника, пересекаются в одной точке, то треугольник равнобедренный.
Решение
Отрезки, на которые биссектрисы делят стороны треугольника, легко вычисляются. В результате получаем, что если перпендикуляры, восставленные из оснований биссектрис, пересекаются, то
$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{ac}{b+c}}\right.$$\displaystyle {\frac{ac}{b+c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{ac}{b+c}}\right)^{2}{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{ab}{a+c}}\right.$$\displaystyle {\frac{ab}{a+c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{ab}{a+c}}\right)^{2}{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{bc}{a+b}}\right.$$\displaystyle {\frac{bc}{a+b}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{bc}{a+b}}\right)^{2}{}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{ab}{b+c}}\right.$$\displaystyle {\frac{ab}{b+c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{ab}{b+c}}\right)^{2}{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{bc}{a+c}}\right.$$\displaystyle {\frac{bc}{a+c}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{bc}{a+c}}\right)^{2}{}$ + $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{ac}{a+b}}\right.$$\displaystyle {\frac{ac}{a+b}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{ac}{a+b}}\right)^{2}{}$,
т. е.
0 = $\displaystyle {\frac{a^2(c-b)}{b+c}}$ + $\displaystyle {\frac{b^2(a-c)}{a+c}}$ + $\displaystyle {\frac{c^2(b-a)}{a+b}}$ = - $\displaystyle {\frac{(b-a)(a-c)(c-b)(a^2+b^2+c^2)}{(a+b)(a+c)(b+c)}}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет