Олимпиадные задачи из источника «глава 7. Геометрические места точек» - сложность 3 с решениями

Докажите, что множество точек <i>X</i>, обладающих тем свойством, что <i>k</i>₁<i>A</i>₁<i>X</i>²+ ... +<i>k</i>_n<i>A</i>_n<i>X</i>²=<i>c</i>: а) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n$\ne$0 является окружностью или пустым множеством; б) при <i>k</i>₁+ ... +<i>k</i>_n= 0 является прямой, плоскостью или пустым множеством.

Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек <i>A</i>₁, <i>B</i>₁, <i>C</i>₁ на стороны <i>BC, CA, AB</i> треугольника <i>ABC</i>, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда <i>A</i>₁<i>B</i>² + <i>C</i>₁<i>A</i>² + <i>B</i>₁<i>C</i>² = <i>B</i>₁<i>A</i>² + <i>A</i>₁<i>C</i>² + <i>C</i>₁<i>B</i>² (<i>теорема Карно</i>).

На плоскости даны два непересекающихся круга. Обязательно ли найдется точка <i>M</i>, лежащая вне этих кругов, удовлетворяющая такому условию: каждая прямая, проходящая через точку <i>M</i>, пересекает хотя бы один из этих кругов? Найдите ГМТ <i>M</i>, удовлетворяющих такому условию.

Дан четырехугольник <i>ABCD</i>, причем <i>AB</i><<i>BC</i>и <i>AD</i><<i>DC</i>. Точка <i>M</i>лежит на диагонали <i>BD</i>. Докажите, что <i>AM</i><<i>MC</i>.

Точки <i>A</i>,<i>B</i>и <i>C</i>таковы, что для любой четвертой точки <i>M</i>либо <i>MA</i>$\leq$<i>MB</i>, либо <i>MA</i>$\leq$<i>MC</i>. Докажите, что точка <i>A</i>лежит на отрезке <i>BC</i>.

Точки <i>P</i> и <i>Q</i> движутся с одинаковой постоянной скоростью <i>v</i> по двум прямым, пересекающимся в точке <i>O</i>.

Докажите, что на плоскости существует неподвижная точка <i>A</i>, расстояния от которой до точек <i>P</i> и <i>Q</i> в любой момент времени равны.

Две окружности пересекаются в точках <i>A</i>и <i>B</i>. Через точку <i>A</i>проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках <i>P</i>и <i>Q</i>. Какую линию описывает середина отрезка <i>PQ</i>, когда секущая вращается вокруг точки <i>A</i>?

Дан треугольник <i>ABC</i>. Найдите множество центров прямоугольников <i>PQRS</i>, вершины <i>Q</i>и <i>P</i>которых лежат на стороне <i>AC</i>, вершины <i>R</i>и <i>S</i> — на сторонах <i>AB</i>и <i>BC</i>соответственно.

а) На окружности фиксированы точки <i>A</i>и <i>B</i>, а точки <i>A</i>₁и <i>B</i>₁движутся по той же окружности так, что величина дуги <i>A</i>₁<i>B</i>₁остается постоянной; <i>M</i> — точка пересечения прямых <i>AA</i>₁и <i>BB</i>₁. Найдите ГМТ <i>M</i>. б) В окружность вписаны треугольники <i>ABC</i>и <i>A</i>₁<i>B</i>₁<i>C</i>₁, причем треугольник <i>ABC</i>неподвижен, а треугольник <i>A</i>&lt...

Пусть <i>S</i> — окружность Аполлония для точек <i>A</i>и <i>B</i>, причем точка <i>A</i>лежит вне окружности <i>S</i>. Из точки <i>A</i>проведены касательные <i>AP</i>и <i>AQ</i>к окружности <i>S</i>. Докажите, что <i>B</i> — середина отрезка <i>PQ</i>.

На плоскости даны две точки <i>A</i>и <i>B</i>. Найдите ГМТ <i>M</i>, для которых <i>AM</i>:<i>BM</i>=<i>k</i>(<i>окружность Аполлония</i>).

а) Дан параллелограмм <i>ABCD</i>. Докажите, что величина <i>AX</i>²+<i>CX</i>²-<i>BX</i>²-<i>DX</i>²не зависит от выбора точки <i>X</i>. б) Четырехугольник <i>ABCD</i>не является параллелограммом. Докажите, что все точки <i>X</i>, удовлетворяющие соотношению <i>AX</i>²+<i>CX</i>²=<i>BX</i>²+<i>DX</i>², лежат на одной прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему середины диагоналей.

Внутри окружности взята точка <i>A</i>. Найдите геометрическое место точек пересечения касательных к окружности, проведенных через концы всевозможных хорд, содержащих точку <i>A</i>.

Даны две непересекающиеся окружности. Найдите геометрическое место точек центров окружностей, делящих пополам данные окружности (т. е. пересекающих их в диаметрально противоположных точках).

Даны окружность <i>S</i>и точка <i>M</i>вне ее. Через точку <i>M</i>проводятся всевозможные окружности <i>S</i>₁, пересекающие окружность <i>S</i>; <i>X</i> — точка пересечения касательной в точке <i>M</i>к окружности <i>S</i>₁с продолжением общей хорды окружностей <i>S</i>и <i>S</i>₁. Найдите ГМТ <i>X</i>.

Найдите геометрическое место точек <i>M</i>, лежащих внутри ромба <i>ABCD</i>и обладающих тем свойством, что $\angle$<i>AMD</i>+$\angle$<i>BMC</i>= 180^<tt>o</tt>.

На окружности фиксированы точки <i>A</i> и <i>B</i>, а точка <i>C</i> движется по этой окружности. Найдите геометрическое место точек пересечения медиан треугольников <i>ABC</i>.