Задача
На прямой lвзяты точки A1,B1и C1и из вершин треугольника ABCна эту прямую опущены перпендикуляры AA2,BB2и CC2. Докажите, что перпендикуляры, опущенные из точек A1,B1и C1на прямые BC,CAи AB, пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $\overline{A_1B_1}$:$\overline{B_1C_1}$=$\overline{A_2B_2}$:$\overline{B_2C_2}$(отношения отрезков ориентированные).
Решение
Нужно выяснить, в каком случае выполняется равенство AB12+BC12+CA12=BA12+CB12+AC12. Вычитая из обеих частей этого равенства величину AA22+BB22+CC22, переходим к соотношению A2B12+B2C12+C2A12=B2A12+C2B12+A2C12, т. е. (b1-a2)2+ (c1-b2)2+ (a1-c2)2= (a1-b2)2+ (b1-c2)2+ (c1-a2)2, где ai,biи ci — координаты точек Ai,Biи Ciна прямой l. После сокращения получаем a2b1+b2c1+c2a1=a1b2+b1c2+c1a2, а значит, (b2-a2)(c1-b1) = (b1-a1)(c2-b2), т. е. $\overline{A_2B_2}$:$\overline{B_2C_2}$=$\overline{A_1B_1}$:$\overline{B_1C_1}$.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь